Question

為了盡量減少發(fā)射衛(wèi)星時(shí)火箭所提供的能量，可以利用地球的自轉(zhuǎn)，讓衛(wèi)星由西向東發(fā)射，現(xiàn)假設(shè)某火箭的發(fā)射場(chǎng)地就在赤道表面附近；
（1）如果使衛(wèi)星在地球赤道面的附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則衛(wèi)星相對(duì)于地心運(yùn)行的速度大小是多少？衛(wèi)星相對(duì)于地球表面運(yùn)行的速度大小又是多少？
（2）如果某衛(wèi)星的質(zhì)量是2×10³kg，由于地球的自轉(zhuǎn)使得衛(wèi)星具有了一定的初動(dòng)能，這一初動(dòng)能即為利用地球的自轉(zhuǎn)與地球沒(méi)有自轉(zhuǎn)相比較，火箭發(fā)射衛(wèi)星時(shí)所節(jié)省的能量，求此能量的大小．
（已知萬(wàn)有引力恒量G=6.67×10^-11nm²/kg²，地球的半徑為R=66.4×10³km，地球自轉(zhuǎn)周期為24h，表面重力加速度為9.8m/s²，要求答案保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：1、由于地球自轉(zhuǎn)，使衛(wèi)星具有的初速度v′=

2πR

T

，在地面上附近重力提供向心力mg=m

v2

R

，解出此時(shí)速度v，該速度即為衛(wèi)星對(duì)地心的速度，兩速度之差為衛(wèi)星相對(duì)于地面的速度．
2、根據(jù)能量守恒，節(jié)省的能量為由于地球自轉(zhuǎn)而具有的動(dòng)能，即Ek0=

1

2

mv′2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．

解答：解：（1）在發(fā)射之初，由于地球的自轉(zhuǎn)，使得衛(wèi)星具有一初速度，其大小為
v′=

2πR

T

=

2×3.14

24×60×60

×6.4×106m/s=0.47km/s
衛(wèi)星在地球附近繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)重力提供向心力，設(shè)衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的速度（即衛(wèi)星對(duì)地心的速度）為v，由牛頓第二定律得mg=m

v2

R

即v=

Rg

=7.9km/s
∴對(duì)于地面的速度應(yīng)達(dá)到v₀=v-v′=7.4km/s
（2）節(jié)省的能量Ek0=

1

2

mv′2=

1

2

×2×103×0.472×106=2.2×10⁸J
答：（1）衛(wèi)星相對(duì)于地心運(yùn)行的速度大小是7.9km/s，衛(wèi)星相對(duì)于地球表面運(yùn)行的速度大小是7.4km/s．
（2）火箭發(fā)射衛(wèi)星時(shí)所節(jié)省的能量為2.2×10⁸J．

點(diǎn)評(píng)：本題難點(diǎn)是要理解衛(wèi)星對(duì)于地心的速度和衛(wèi)星對(duì)于地面的速度，這兩個(gè)速度分別是什么含義，這是解題的關(guān)鍵．