Question

【題目】如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合。轉臺以一定角速度ω勻速旋轉，一質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度大小為g。

(1)若ω＝ω0，小物塊受到的摩擦力恰好為零，求ω0；

(2)若ω＝(1±k)ω0，且0＜k1，求小物塊受到的摩擦力大小和方向。

Answer 1

【答案】(1) (2) 當ω＝(1＋k)ω0時，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向下， ； 當ω＝(1－k)ω0時，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向上，

【解析】試題分析：(1) 若ω=ω0，小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出角速度的大小；

(2) 當ω＞ω0，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，根據牛頓第二定律求出摩擦力的大小．當ω＜ω0，重力和支持力的合力大于向心力，則摩擦力的方向沿罐壁切線向上，根據牛頓第二定律求出摩擦力的大小。

(1) 對小物塊受力分析可知：

FN cos 60°＝mg

FN sin 60°＝mR′ω02

R′＝Rsin 60°

由以上各式解得：

；

(2) 由于0＜k1，

當ω＝(1＋k)ω0時，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向下

由受力分析可知：

FN′cos 60°＝mg＋Ffcos 30°

FN′sin 60°＋Ffsin 30°＝mR′ω2

解得：

當ω＝(1－k)ω0時，物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向上．

由受力分析和幾何關系知：

FN″cos 60°＋Ff′sin 60°＝mg

FN″sin 60°－Ff′cos 60°＝mR′ω2

解得：。

點晴：解決本題的關鍵搞清物塊做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進行求解。