Question

【題目】如圖所示，豎直平面內的軌道ABCD由水平軌道AB與光滑的四分之一圓弧軌道CD組成，AB恰與圓弧CD在C點相切，軌道固定在水平面上．一個質量為m的小物塊（可視為質點）從軌道的A端以初動能E沖上水平軌道AB，沿著軌道運動，由DC弧滑下后停在水平軌道AB的中點．已知水平軌道AB長為L．求：

（1）小物塊與水平軌道的動摩擦因數μ．
（2）為了保證小物塊不從軌道的D端離開軌道，圓弧軌道的半徑R至少是多大？
（3）若圓弧軌道的半徑R取第（2）問計算出的最小值，增大小物塊的初動能，使得小物塊沖上軌道后可以達到最大高度是1.5R處，試求物塊的初動能并分析物塊能否停在水平軌道上．如果能，將停在何處？如果不能，將以多大速度離開水平軌道．

Answer 1

【答案】
（1）解：小物塊最終停在AB的中點，在這個過程中，由動能定理得：﹣μmg（L+0.5L）=﹣E

得：μ=

答：小物塊與水平軌道的動摩擦因數μ為 ．

（2）解：若小物塊剛好到達D處，速度為零，同理，有：﹣μmgL﹣mgR=﹣E

解得CD圓弧半徑至少為：R=

答：為了保證小物塊不從軌道的D端離開軌道，圓弧軌道的半徑R至少是 ．

（3）解：設物塊以初動能E′沖上軌道，可以達到的最大高度是1.5R，由動能定理得：

﹣μmgL﹣1.5mgR=﹣E′

解得：E′=

物塊滑回C點時的動能為EC=1.5mgR= ，由于EC＜μmgL= ，故物塊將停在軌道上．

設到A點的距離為x，有﹣μmg（L﹣x）=﹣EC

解得：x= L

即物塊最終停在水平滑道AB上，距A點 L處．

答：物塊最終停在水平滑道AB上，距A點 L處．

【解析】（1）在小物塊運動的整個過程中，重力做功為0，摩擦力做負功﹣1.5μmgL，根據動能定理求解μ．（2）小物塊恰好不從軌道的D端離開軌道時，到達D點速度為零，由動能定理求出R．（3）根據動能定理求解出小物塊恰好沖上最大高度1.5R時的初動能E′，物塊滑回C點時的動能EC=1.5mgR，分析EC與滑塊從B到A克服摩擦力做功的大小關系，即可判斷物塊能否停在水平軌道上．并能根據動能定理求解滑塊停止在軌道何處．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用動能定理的綜合應用的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握應用動能定理只考慮初、末狀態，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質和物理過程的變化的影響.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時間的動力學問題，都可以用動能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運動定律和機械能守恒定律簡捷．