Question

【題目】一半徑為R的薄圓筒處于磁感應強度大小為B的勻強磁場中，磁場方向與筒的中心軸線平行，筒的橫截面如圖所示。圖中直徑MN的兩端分別開有小孔，筒可繞其中心軸線轉動，圓筒的轉動方向和角速度大小可以通過控制裝置改變。一不計重力的負電粒子從小孔M沿著MN方向射入磁場，當筒以大小為ω0的角速度轉過90°時，該粒子恰好從某一小孔飛出圓筒。

（1）若粒子在筒內未與筒壁發生碰撞，求該粒子的荷質比和速率分別是多大？

（2）若粒子速率不變，入射方向在該截面內且與MN方向成30°角，則要讓粒子與圓筒無碰撞地離開圓筒，圓筒角速度應為多大？

Answer 1

【答案】（1），，（2）或者其中n=0，1，2，3…。

【解析】

（1）若粒子沿MN方向入射，當筒轉過90°時，粒子從M孔（筒逆時針轉動）或N孔（筒順時針轉動）射出，如圖，由軌跡1可知半徑：

r=R

由：

粒子運動周期：

筒轉過90°的時間：

又：

聯立以上各式得：荷質比，粒子速率；

（2）若粒子與MN方向成30°入射，速率不變半徑仍為R，作粒子軌跡2如圖，軌跡2圓心為，則四邊形為菱形，可得：

所以，則粒子偏轉的時間：

又：

得：，由于轉動方向與射出孔不確定，討論如下：

①當圓筒順時針轉動時，設筒轉動的角速度變為ω1，若從N點離開，則筒轉動時間滿足：

得：，其中k=0，1，2，3…

若從M點離開，則筒轉動時間滿足：

得：，其中k=0，1，2，3…；

綜上可得：，其中n=0，1，2，3…；

②當圓筒逆時針轉動時，設筒轉動的角速度變為ω2，

若從M點離開，則筒轉動時間滿足：

得：，其中k=0，1，2，3…；

若從N點離開，則筒轉動時間滿足：

得：，其中k=0，1，2，3…；

綜上可得，其中n=0,1,2,3…；

綜上所述，圓筒角速度大小應為或者其中n=0，1，2，3…。