Question

如圖，水平地面和半圓軌道面均光滑，質量為 m 的小車靜止在地面上，小車上表面與半徑為 R 的半圓軌道最低點 P 切線相平，質量為 mB 的物體 B 靜止在 P 點．現有一質量為 mA 的物體 A 以初速度 v0 滑上小車左端，當 A 與小車共速時，小車還未與墻 壁碰撞，小車與墻壁碰撞時即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車表面的滑動摩擦因數為 μ，mA=mB=m，物體 A、B 可視為質點，重力加速度為 g．試求：
（1）物體 A 與小車共速時的速度大小；
（2）小車的最小長度 L；
（3）當物體 A 與 B 發生彈性碰撞后，欲使 B 碰后在圓軌道運動時不脫離圓軌道，小車的長度 L應在什么范圍內．

Answer 1

分析：物體A在小車上面運動，把小車與物體A看做一系統，合外力為零，滿足動量守恒列出等式求解
若滑塊恰能滑過圓的最高點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出滑塊經過最高點時的速度，根據動能定理求出軌道半徑；若滑塊恰好滑至

1

4

圓弧到達T點時就停止，滑塊也能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道．根據動能定理求解小車的長度，即能得到小車的長度的范圍．

解答：解：（1）物體A在小車上面運動，把小車與物體A看做一系統，合外力為零，滿足動量守恒，
有：m_AV₀=（m_A+m_B）V_共且m_A=m_B=m
解得V_共=

1

2

v₀
（2）若問題A與小車達到共同速度時，恰好運動到小車的右端，此情況下小車的長度是最小長度，
由系統動能定理得
-μm_AgL=

1

2

（m_A+m）

v

2 共

-

1

2

m_A

v

2 0

解得L=

v 2 0

4μg

（3）假設問題A與小車達到共同速度時，距離小車的右端為S，小車粘到墻壁上之后，
物體A開始勻減速直線運動，直到P點是速度為v_t，
由動能定理得：
-μm_AgS=

1

2

m_A

v

2 t

-

1

2

m_A

v

2 共

得出：

1

2

m_A

v

2 t

=

1

8

m_A

v

2 0

-μm_AgS
①欲保證A能滑到P點，v_t≥0

1

8

m_A

v

2 0

-μm_AgS≥0
S≤

v 2 0

8μg

，此情況下小車的長度L_總=L+S=

3v 2 0

8μg

②A能滑到P點與B發生彈性碰撞，滿足動量和動能守恒，
m_Av_t=m_Av_A+m_Bv_B
解得：v_A=0，v_B=v_t
以后B做圓周運動，恰能運動到最高點，
在最高點速度v_B0=

gR

根據機械能守恒有
m_Bg?2R+

1

2

m_B

v

2 BO

=

1

2

m_B

v

2 t

解得：S=

v 2 0

8μg

-

5R

2μ

此情況下小車的長度L_總=L+S=

3v 2 0

8μg

-

5R

2μ

③如果滑塊滑到

1

4

圓滑就停止，滑塊也能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道根據機械能守恒有
m_BgR=

1

2

m_B

v

2 t

S═

v 2 0

8μg

-

R

μ

此情況下小車的長度L_總=L+S=

3v 2 0

8μg

-

R

μ

綜上所述，滑塊能沿圓軌道運動而不脫離圓軌道，半圓軌道的半徑必須滿足：

v 2 0

4μg

＜L≤

3v 2 0

8μg

-

5R

2μ

或=

3v 2 0

8μg

-

R

μ

≤L≤

3v 2 0

8μg

答：（1）物體 A 與小車共速時的速度大小是

1

2

v₀；
（2）小車的最小長度是

v 2 0

4μg

；
（3）當物體 A 與 B 發生彈性碰撞后，欲使 B 碰后在圓軌道運動時不脫離圓軌道，
小車的長度 L范圍是

v 2 0

4μg

＜L≤

3v 2 0

8μg

-

5R

2μ

或

3v 2 0

8μg

-

R

μ

≤L≤

3v 2 0

8μg

．

點評：本題通過計算分析小車與墻壁碰撞前滑塊與小車的速度是否相同是難點．第3題容易只考慮滑塊通過最高點的情況，而遺漏滑塊恰好滑至

1

4

圓弧到達T點時停止的情況，要培養自己分析隱含的臨界狀態的能力．