Question

【題目】如圖所示，豎直平面內的軌道ABCD由水平軌道AB與光滑的四分之一圓弧軌道CD組成，AB恰與圓弧CD在C點相切，軌道固定在水平面上．一個質量為m的小物塊（可視為質點）從軌道的A端以初動能E沖上水平軌道AB，沿著軌道運動，由DC弧滑下后停在水平軌道AB的中點．已知水平軌道AB長為L．求：

（1）小物塊與水平軌道的動摩擦因數μ．

（2）為了保證小物塊不從軌道的D端離開軌道，圓弧軌道的半徑R至少是多大？

（3）若圓弧軌道的半徑R取第（2）問計算出的最小值，增大小物塊的初動能，使得小物塊沖上軌道后可以達到最大高度是1.5R處，試求物塊的初動能并分析物塊能否停在水平軌道上．如果能，將停在何處？如果不能，將以多大速度離開水平軌道．

Answer 1

【答案】（1）．

（2）．

（3）L處．

【解析】試題分析：（1）小物塊最終停在AB的中點，在這個過程中，由動能定理得：﹣μmg（L+0.5L）=﹣E

得：μ=

（2）若小物塊剛好到達D處，速度為零，同理，有：﹣μmgL﹣mgR=﹣E

解得CD圓弧半徑至少為：R=

（3）設物塊以初動能E′沖上軌道，可以達到的最大高度是1.5R，由動能定理得：

﹣μmgL﹣1.5mgR=﹣E′

解得：E′=

物塊滑回C點時的動能為EC=1.5mgR=，由于EC＜μmgL=，故物塊將停在軌道上．

設到A點的距離為x，有﹣μmg（L﹣x）=﹣EC

解得：x=L

即物塊最終停在水平滑道AB上，距A點L處．

答：（1）小物塊與水平軌道的動摩擦因數μ為．

（2）為了保證小物塊不從軌道的D端離開軌道，圓弧軌道的半徑R至少是．

（3）物塊最終停在水平滑道AB上，距A點L處．