Question

（原創）如圖所示，遙控電動賽車（可視為質點）從A點由靜止出發，經過時間t后關閉電動機，賽車繼續前進至B點后進入固定在豎直平面內的圓形光滑軌道，通過軌道最高點P后又進入水平軌道CD上。已知賽車在水平軌道AB部分和CD部分運動時受到阻力恒為車重的0.5倍，賽車的質量m=0．4kg，通電后賽車的電動機以額定功率P=2W工作，軌道AB的長度L=2m，圓形軌道的半徑R=0.5m，空氣阻力可忽略，取重力加速度g=10m/s²。某次比賽，要求賽車在運動過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運動的路程最短。在此條件下，求：

（1）小車在CD軌道上運動的最短路程。

(2) 賽車運動到圓形光滑軌道最底部時對軌道的壓力.

（2）賽車電動機工作的時間。

Answer 1

（1）要求賽車在運動過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運動的路程最短，則小車經過圓軌道P點時速度最小，此時賽車對軌道的壓力為零，重力提供向心力：（1分）

                                                     （1分）

C點的速度，由機械能守恒定律可得：

                                        （2分）

由上述兩式聯立，代入數據可得：v_C=5m/s                           （1分）

設小車在CD軌道上運動的最短路程為x，由動能定理可得：

                                             （2分）

代入數據可得：x =2．5m                                          （1分）

(2)在圓軌道最底點:

                                                 （2分）

代入數據可得：=24N                                           （1分）

根據牛頓第三定律賽車對圓形軌道底部壓力為24N                     （1分

（3）由于豎直圓軌道光滑，由機械能守恒定律可知：v_B = v_C =5m/s      （1分）

從A點到B點的運動過程中，由動能定理可得：

                                              （2分）

代入數據可得：t = 4．5s                                         （1分）