Question

【題目】如圖所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉動，可視為質點的小球A與兩細線連接后分別系于B、C兩點，裝置靜止時細線AB水平，細線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質量m=1kg，細線AC長L=1m，B點距轉軸的水平距離和距C點豎直距離相等．（重力加速度g取10m/s2 ， sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）若裝置勻速轉動的角速度為ω1時，細線AB上的張力為0而細線AC與豎直方向的夾角仍為37°，求角速度ω1的大小；
（2）若裝置勻速轉動的角速度為ω2時，細線AB剛好豎直，且張力為0，求此時角速度ω2的大小；
（3）裝置可以以不同的角速度勻速轉動，試通過計算在坐標圖中畫出細線AC上張力T隨角速度的平方ω2變化的關系圖象．

Answer 1

【答案】
（1）解：細線AB上張力恰為零時，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律有：

解得：

答：角速度ω1的大小為 rad/s

（2）解：細線AB恰好豎直，但張力為零時，設細線AC與豎直方向的夾角為θ′．

由幾何關系得： ，得θ'=53°

根據牛頓第二定律得：

解得，

答：此時角速度ω2的大小為 rad/s

（3）解：當 時，細線AB水平，細線AC上張力的豎直分量始終等于小球的重力：Tcosθ=mg；

解得： ．

ω1≤ω≤ω2時細線AB松弛，細線AC上張力的水平分量等于小球做圓周運動需要的向心力，則有：

Tsinα=mω2lsinα，T=mω2l

ω＞ω2時，細線AB在豎直方向繃直，仍然由細線AC上張力的水平分量提供小球做圓周運動需要的向心力：Tsinθ'=mω2lsinθ'T=mω2l

綜上所述： 時，T=12.5N不變；ω＞ω1時，T=mω2l=ω2（N），T﹣ω2關系圖象如圖所示

【解析】（1）細線AB上張力恰為零時，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出角速度ω1的大小．（2）細線AB剛好豎直，且張力為0時，由幾何關系求出細線AC與豎直方向的夾角．細線AB松弛，根據小球重力和拉力的合力提供向心力求出此時角速度ω2的大小．（3）根據牛頓第二定律分別求出ω≤ω1= rad/s時、ω1≤ω≤ω2時、ω＞ω2時拉力的大小，從而確定細線AC上張力T隨角速度的平方ω2變化的關系，并作出圖象．
【考點精析】本題主要考查了向心力的相關知識點，需要掌握向心力總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力才能正確解答此題．