Question

【題目】輕質彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為l�，F將該彈簧水平放置，一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示。物塊P與AB間的動摩擦因數μ=0.5。用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后釋放，P開始沿軌道運動，重力加速度大小為g。

（1）若P的質量為m，求P到達B點時速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點間的距離；

（2）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質量的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】（1）將彈簧豎直放置在地面上，物體下落壓縮彈簧時，由系統的機械能守恒得 Ep=5mgl
如圖，根據能量守恒定律得Ep=μmg4l+mvB2
聯立解得 vB=
物體P從B到D的過程，由機械能守恒定律得
mg2l+mvD2=mvB2
解得 vD=＞
所以物體P能到達D點，且物體P離開D點后做平拋運動，則有2l=gt2
x=vDt
解得 x=2l
即落地點與B點間的距離為2l．
（2）P剛好過B點，有：Ep=μm1g4l，解得 m1=m
P最多到C而不脫軌，則有 Ep=μm2g4l+m2gl，解得 m2=m
所以滿足條件的P的質量的取值范圍為：m≤mP＜m．