Question

如圖所示是一種磁動力電梯的模擬機，即在豎直平面內有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面的勻強磁場B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，B₁=B₂=1T，電梯橋廂固定在如圖所示的一個用超導材料制成的金屬框abcd內（電梯橋廂在圖中未畫出），并且與之絕緣．電梯載人時的總質量為m=5×10³kg，所受阻力大小為F_f=500N，金屬框垂直軌道的邊長為L_cd=2m，兩磁場的寬度均與金屬框的邊長L_ac相同，金屬框整個回路的電阻為R=1.0×10^-3Ω，問：
（1）假如兩磁場始終豎直向上做勻速運動．設計要求電梯以v₁=10m/s的速度向上勻速運動，那么，磁場向上運動的速度v₀應該為多大？
（2）假如t=0時兩磁場由靜止開始向上做勻加速運動，加速度大小為a=1.5m/s²，電梯可近似認為過一小段時間后也由靜止開始向上做勻加速運動，t=5s末電梯的速度多大？電梯運動的時間內金屬框中消耗的電功率多大？從電梯開始運動到t=5s末時間內外界提供給系統的總能量為多大？

Answer 1

（1）電梯向上勻速運動時，框中感應電流大小為I=

2B1Lcd(v0-v1)

R

金屬框所受安培力F=2B₁IL_cd
安培力大小與重力和阻力之和相等，所以F=mg+F_f
即

4B12Lcd2(v0-v1)

R

=mg+Ff
得：v₀=13.2m/s
（2）電梯向上勻加速運動時，金屬框中感應電流大小為  I=

2B1Lcd(v2-v1)

R

金屬框所受安培力F=2B₁IL_cd
由牛頓定律得：F-mg-F_f=ma
 即   

4B12Lcd2(at-v1)

R

-mg-Ff=ma   
解得：v₁=3.9m/s
金屬框中感應電流為：I=I=

2B1Lcd(at-v1)

R

=1.44×10⁴A
A金屬框中的電功率為：P₁=I²R=2.07×10⁵W
電梯上升高度為：h=

v12

2a

=5.07m
上升時間為：t′=

v1

a

=2.6s
外界提供的總能量為E=mgh+F_fh+

1

2

mv₁²+P₁t′=8.3×10⁵J
答：
（1）v₀=13.2m/s
（2）5s末速度為：3.9m/s
金屬框中的電功率為：2.07×10⁵W
外界提供的總能量為：8.3×10⁵J