Question

如圖，在0≤x≤

3

a區域內存在與xy平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B．在t=0時刻，一位于坐標原點的粒子源在xy平面內發射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0～180°范圍內．已知沿y軸正方向發射的粒子在t=t₀時刻剛好從磁場邊界上P(

3

a，a)點離開磁場．求：
（1）粒子在磁場中做圓周運動的半徑R及粒子的比荷；
（2）此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；
（3）從粒子發射到全部粒子離開磁場所用的時間．

Answer 1

分析：（1）由幾何關系可確定粒子飛出磁場所用到的時間及半徑，再由洛侖茲力充當向心力關系，聯立可求得荷質比；
（2）由幾何關系可確定仍在磁場中的粒子位置，則可由幾何關系得出夾角范圍；
（3）最后飛出的粒子轉過的圓心角應為最大，由幾何關系可知，其軌跡應與右邊界相切，則由幾何關系可確定其對應的圓心角，則可求得飛出的時間．

解答：解：（1）初速度與y軸方向平行的粒子在磁場中的運動軌跡如圖1中的弧OP所示，其圓心為C．由幾何關系可知，∠POC=30°；△OCP為等腰三角形
故∠OCP=

2π

3

   ①
此粒子飛出磁場所用的時間為
t₀=

T

3

②
式中T為粒子做圓周運動的周期．
設粒子運動速度的大小為v，半徑為R，由幾何關系可得
R=

2 3

3

a   ③
由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有
qvB=m

v2

R

  ④
T=

2πR

v

   ⑤
聯立②③④⑤解得

q

m

=

2π

3Bt0

⑥
（2）仍在磁場中的粒子其圓心角一定大于120°，這樣粒子角度最小時從磁場右邊界穿出；角度最大時從磁場左邊界穿出．依題意，同一時刻仍在磁場內的粒子到O點距離相同．在t₀時刻仍在磁場中的粒子應位于以O點為圓心、OP為半徑的弧

MN

上．如圖所示．
設此時位于P、M、N三點的粒子的初速度分別為v_P、v_M、v_N．由對稱性可知v_P與OP、v_M與OM、v_N與ON的夾角均為

π

3

．
設v_M、v_N與y軸正向的夾角分別為θ_M、θ_N，由幾何關系有θM=

π

3

⑦θN=

2π

3

⑧
對于所有此時仍在磁場中的粒子，其初速度與y軸正方向所成的夾角θ應滿足

π

3

≤θ≤

2π

3

（3）在磁場中飛行時間最長的粒子的運動軌跡應與磁場右邊界相切，其軌跡如圖2所示．由幾何關系可知：
OM=OP
由對稱性可知
ME=OP
由圖可知，圓的圓心角為240°，從粒子發射到全部粒子飛出磁場所用的時間2t₀；

點評：本題考查帶電粒子在磁場中的運動，解題的關鍵在于確定圓心和半徑，并能根據幾何關系確定可能的運動軌跡．