Question

如圖所示，一質量為m₁、長為L的長木板放在很長的光滑水平桌面上，板的左端有一質量為m₂的小滑塊．滑塊用一很長細線跨過桌面邊沿定滑輪，現以恒定速度v向下拉線，滑塊最多只能到達板的中點，已知整個過程板的右端都不會到達桌面邊沿．試求
（1）當滑塊剛到達木板中點時木板的位移；
（2）若木板與桌面間有摩擦，為使滑塊能達到木板的右端，木板與桌面間的動摩擦因數應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）由題意知，滑塊做勻速運動，木板做勻加速運動，當滑塊滑到木板的中點時，兩者速度相等，均為v，運用運動學公式分別表示兩個物體的位移，根據位移之差等于

1

2

L，即可求出木板的位移；
（2）當桌面光滑時，由牛頓第二定律和運動學結合求出滑塊與長木板之間摩擦因數μ₁．如果板與桌面有摩擦，因為長木板與桌面摩擦因數越大，滑塊越易從右端滑下，所以當滑塊滑到長木板右端兩者剛好共速時摩擦因數最小，設為μ₂．對木板，運用牛頓第二定律和運動學公式列式，結合滑塊與長木板的位移之差等于L，即可求得μ₂．從而得到其范圍．

解答：解：（1）滑塊與長木板相對滑動過程
小滑塊m₁勻速運動，則有：vt=s₁ ①
長木板m₂勻加速運動，則有：

1

2

vt=s₂ ②
又幾何關系得：s₁-s₂=

1

2

L ③
聯立以上三式得s₂=

1

2

L
（2）設滑塊與長木板之間摩擦因數為μ₁
當桌面光滑時有 μ₁m₂g=m₁a₁ ④
v²=2a₁s₂ ⑤
由④⑤得μ₁=

m1v2

m2gL

如果板與桌面有摩擦，因為長木板與桌面摩擦因數越大，滑塊越易從右端滑下，所以當滑塊滑到長木板右端兩者剛好共速時摩擦因數最小，設為μ₂
對長木板有：m₁a₂=μ₁m₂g-μ₂（m₁+m₂）g ⑥
          

v

2

t′=s′2 ⑦

          v²=2a₂s′₂ ⑧
對滑塊有：vt′=s′₁  ⑨
又 s′₁-s′₂=L ⑩
聯立以上五式得 μ₂=

m1v2

2(m1+m2)gL

所以桌面與板間的摩擦因數μ≥

m1v2

2(m1+m2)gL

答：
（1）當滑塊剛到達木板中點時木板的位移是

1

2

L；
（2）若木板與桌面間有摩擦，為使滑塊能達到木板的右端，木板與桌面間的動摩擦因數應滿足的條件是μ≥

m1v2

2(m1+m2)gL

．

點評：明確臨界條件，弄清物塊和木板之間的位移、速度、加速度關系是解答本題的關鍵．