Question

【題目】如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)有垂直于平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一個(gè)半徑為R的絕緣圓筒垂直于坐標(biāo)平面放置，圓心P在x軸上，O、P間的距離為2R，y軸上各點(diǎn)處均可沿x軸正方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的同種帶正電粒子，粒子的發(fā)射速度大小均為v0＝，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用，求：

（1）所有打到圓筒上的粒子中，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間及在y軸上發(fā)射的位置坐標(biāo)；

（2）從y軸上什么范圍內(nèi)發(fā)射的粒子能打在圓筒上?

Answer 1

【答案】（1）（0，）（2）

【解析】

（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：

代入數(shù)據(jù)，解得：

由題意可知，所有粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在y軸上，做圓周運(yùn)動(dòng)的圓半徑相等，根據(jù)得，粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的周期都相等，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，要使運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，則運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)最短，圓心角最小，分析可知粒子打在圓筒與x軸左側(cè)交點(diǎn)所用的時(shí)間最短。

由幾何關(guān)系可知，這段圓弧所對(duì)圓心角滿足：

得到：

粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：

則最短時(shí)間：

根據(jù)幾何關(guān)系，發(fā)射點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為：

即對(duì)應(yīng)粒子在y軸上發(fā)射的位置坐標(biāo)為（0，）

（2）設(shè)從圓筒上面恰好能打在圓筒上的粒子從y軸上射出的位置在M點(diǎn)，坐標(biāo)為M（0，y1）

由幾何關(guān)系可知，

設(shè)從圓筒下面恰好打在圓筒上的粒子從y軸上射出的位置在Q點(diǎn)，坐標(biāo)為Q（0，y2）。

由幾何關(guān)系可知，

因此能打在圓筒上的粒子在y軸上射出的范圍是：。