Question

真空中有一半徑為r的圓柱形勻強磁場區域，磁場方向垂直于紙面向里，ox為磁場邊界上的切線，如圖所示．從o點在紙面內向各個方向發射速率均為v₀的帶負電的粒子，設帶電粒子間相互作用可忽略，且此種帶負電的粒子在磁場中的偏轉半徑也是r．
（1）所有從磁場邊界射出的帶負電的粒子，速度方向有何特征？請通過幾何關系來說明此種帶負電粒子的速度方向特征．
（2）速度方向分別與ox軸正方向成60°與90°的帶負電粒子，在磁場中的運動時間分別是多少？
（3）已知電子的質量為m，電量為e．今在某一平面內有M、N兩點，MN=l，從M點向平面內各個方向發射速率均為v₀的電子，請在圖中設計一個勻強磁場分布，使得由M點發出的電子都能夠匯聚到N點（要求在圖中畫出磁場的范圍），并求出勻強磁場的磁感應強度B的最小值．

Answer 1

分析：（1）分析粒子的運動情景，由幾何關系可得出粒子的速度方向特征；
（2）由（1）的分析，利用幾何關系可得出兩種粒子在磁場中運動的時間；
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動，由幾何關系可分析磁場的分布范圍．

解答：解：（1）如圖所示，入射時電子速度與x夾角為θ，無論入射的速度方向與x軸的夾角為何值，由入射點O、射出點A、磁場圓心O₁和軌道圓心O₂一定組成邊長r的菱形，因O₁O⊥OX，OO₂垂直于入射速度，故∠OO₂A=θ，即電子在磁場中所偏轉的角度一定等于入射時電子速度與Ox軸的夾角．
當θ=60°時，t₁=

π

6

=

πr

3v

當θ=90°時，t₂=

π

4

=

πr

2v

（2）因∠OO₂A=θ，故O₁A⊥OX，而O₂A與電子射出的速度方向垂直，可知電子射出方向一定與Ox軸方向平行，即所有的電子射出圓形磁場時，速度方向均與Ox軸相同．
（3）上述的粒子路徑是可逆的，（2）中從圓形磁場射出的這些速度相同的電子再進入一相同的勻強磁場后，一定會聚集于同一點．磁場的分布如圖所示，對于從M點向MN連線上方運動的電子，兩磁場分別與MN相切，M、N為切點，且平行于兩磁場邊界圓心的連線O₁O₂．
設MN間的距離為l，所加的磁場的邊界所對應圓的半徑r，故應有2r≤l，即2

mv

eB

≤l，所以所加磁場磁感應強度應滿足B≥

2mv

el

．
同理，對于從M點向MN連線下方運動的電子，只要使半徑相同的兩圓形磁場與上方的兩圓形磁場位置關于MN對稱且磁場方向與之相反即可說明：只要在矩形區域M₁N₁N₂M₂內除圖中4個半圓形磁場外無其他磁場，矩形M₁N₁N₂M₂區域外的磁場均可向其余區域擴展．

點評：帶電粒子在磁場中的運動，重點要把握好“找圓心、求半徑”，注意畫出草圖，同時利用好幾何關系去分析粒子的運動過程．