Question

（16分） 如圖所示，生產車間有兩個相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙，甲的速度為v₀。小工件離開甲前與甲的速度相同，并平穩地傳到乙上，工件與乙之間的動摩擦因數為μ，乙的寬度足夠大，重力加速度為g。

（1）若乙的速度為v₀，求工件在乙上側向（垂直于乙的運動方向）滑過的距離s；
（2）若乙的速度為2v₀，求工件在乙上剛停止側向滑動時的速度大小v；
（3）保持乙的速度2v₀不變，當工件在乙上剛停止滑動時，下一只工件恰好傳到乙上，如此反復。若每個工件的質量均為m，除工件與傳送帶之間摩擦外，其他能量損耗均不計，求驅動乙的電動機的平均輸出功率。

Answer 1

（1）s＝；（2）v＝2v₀；（3）＝

試題分析：（1）由于滑動摩擦力的方向與相等運動方向相反，因此首先應判斷工件剛平穩地傳到乙上瞬間，相對于傳送帶乙的運動方向，剛傳到傳送帶乙上瞬間，工件有相對傳送帶乙側向速度v₀和與傳送帶乙運動方向相反的速度v₀，其合速度方向與傳送帶運動方向顯然成45°，如下圖所示，并建立圖示直角坐標系。

根據牛頓第二定律可知：a_x＝－，a_y＝
即物塊相對傳送帶在沿傳送帶方向和垂直傳送帶方向分別做相同的勻減速直線運動，根據勻變速直線運動規律可知，當垂直傳送帶方向的速度減為零時，物塊相對傳送帶在x方向上的位移即側向滑過的距離為：s＝
（2）同理作出工件相對傳送帶運動和所受滑動摩擦力的矢量圖如下圖所示。

設摩擦力與y軸方向間的夾角為θ，根據牛頓第二定律和加速度的定義式可知，始終存在：＝＝tanθ＝
因此工件相對傳送帶做勻減速直線運動，因此工件在乙上剛停止側向滑動時應相對傳送帶乙靜止，因此工件此時的速度大小為：v＝2v₀
（3）每個工件在傳送帶乙上相對傳送帶滑行距離為：Δs＝
每個工件在傳送帶乙上相對傳送帶滑行的時間為：t＝
每個工件在相對傳送帶滑動的t時間內，電動機對乙做的功為：W＝－＋μmgΔs
電動機的平均輸出功率為：＝
聯立以上各式解得：＝