Question

【題目】足夠長的光滑水平面上，有10個相同的小球沿直線等間隔均勻分布，總長度為l，并以相同的速度v0向右運動，如圖甲所示。在小球的正前方有一“加速帶”AB，當小球從左端A進入加速帶后在水平恒力作用下被加速，直至從右端B離開，小球經過加速帶前后速度的變化情況如圖乙所示。已知1號球剛從B端離開時，4號球剛好從A端進入。不考慮球的大小，試求

(1)10個小球最終分布的總長度。

(2)加速帶對10個小球做功的總功率P。已知小球在加速帶上所受水平恒力為F。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）已知1號球剛從B端離開時，4號球剛好從A端進入，因此1、4號兩球的運動時間有一定的關系；在運動示意圖中補畫出1號球剛從A端進入時，2、3、4號球的位置關系；結合題中條件求出此時4號球與1號球之間的距離，根據題意和圖示，利用“等時性”，把1號球在加速帶上運動的時間轉化為4號球做勻速運動所用的時間。小球離開加速帶后以3v0 做勻速運動；已知1號球剛從B端離開時，4號球剛好從A端進入，在運動示意圖中補畫出4號球剛從B端離開時，1、2、3號球的位置關系；利用“等時性”，把1號球在右側做勻速運動的時間轉化為4號球在加速帶上運動的時間，從而可以求出4號球剛從B端離開時1、4號兩球之間的距離，推算出小球離開加速帶后相鄰小球的間隔距離，則最終10個小球分布的總長度L等于9個間隔距離。

（2）已知小球在加速帶上運動的平均速度為2v0，且求出了小球在加速帶上運動的時間T，據此可求出加速帶的長度；已知物體加速帶上受到的水平恒力為F，可求出加速帶對10個小球所做的總功；補畫出10號球的運動示意圖，根據題意和圖示可知，加速帶對10個小球的做功時間等于1號球剛從A端進入到10號球剛從B端離開所用的時間，再把該時間轉化為10號球運動的總時間；最后根據功率公式求出加速帶對10個小球做功的總功率P。

（1）“最終”是指10個小球全部離開了加速帶。根據圖乙可知，所有小球從加速帶B端出來后速度都被加速到了3v0，且保持這個速度不變，這就意味著一旦10個小球全部從B端出來后，它們的總長度也會保持不變。這個長度就是10號球剛離開B端時，它與1號間的距離。

由于每個小球在加速帶上運動的情況完全相同，因此，小球依次從B 端離開加速帶的時間差等于依次進入加速帶的時間差。這樣，10號球與1號球出加速帶的時間差與進入加速帶的時間差Δt相等，而

故10號球剛從B端出來時，1號與10號間的距離L=3v0Δt

解得L=3l

此即10個小球最終分布的總長度。

（2）因加速帶對10個小球做功并不同步，故對10個小球做功的總功率要小于對單個小球做功的功率之和。

小球在加速帶上運動的時間

小球在加速帶上運動的平均速度

故加速帶長度為

因而加速帶對10個小球所做總功為W=10FL0

加速帶做功的總時間應是從1號球進入加速帶A端開始，直到10號球離開加速帶B端為止，這段時間即t=Δt +T

又加速帶對10個小球做功的總功率為

解得P=5Fv0