Question

【題目】假設(shè)電磁作用理論在所有慣性系都成立，慣性系、間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示

開始時(shí)系測(cè)得全空間有不隨時(shí)間變化的電磁作用場(chǎng)為，，為軸方向上的單位矢量．在系中放一塊原不帶電的長(zhǎng)方導(dǎo)體平板，與軸、軸平行的兩條直邊足夠長(zhǎng)（分別可模型化為無限長(zhǎng)），與軸平行的直邊較短．今如圖2所示，令導(dǎo)體板以勻速度相對(duì)系沿軸方向運(yùn)動(dòng)，在其上、下表面上分別累積正、負(fù)電荷，穩(wěn)定時(shí)電荷面密度分別記為常量和．將空間分為導(dǎo)體板上方區(qū)域、導(dǎo)體板內(nèi)區(qū)域和導(dǎo)體板下方區(qū)域

（1）在系中求解以及上述三區(qū)域內(nèi)的電磁作用場(chǎng)強(qiáng)度量、、和、、

（2）此導(dǎo)體板相對(duì)系靜止，如果已經(jīng)認(rèn)知：

（i）系測(cè)得的導(dǎo)體板沿軸方向的線度是系測(cè)得的沿軸方向線度的倍，導(dǎo)體板在系沿軸、軸方向的線度與在系沿軸、軸方向的線度相同

（ii）系測(cè)得導(dǎo)體板上、下表面電荷均勻分布，電荷總量為，則系測(cè)得導(dǎo)體板上、下表面電荷也是均勻分布，電荷總量也為

（iii）系中一個(gè)靜止質(zhì)點(diǎn)，在系中必沿軸反方向以速率運(yùn)動(dòng)；系中一個(gè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)若沿軸（或軸）方向分速度為零，則在系中沿軸（或軸）方向分速度也為零

①試求系三區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度、、（答案中不可包含）

②再求系三區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度、、（答案中不可包含）

③用所得結(jié)果糾正下述手抄相對(duì)論電磁場(chǎng)變換公式時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤．，，，，，

Answer 1

【答案】(1) 進(jìn)而可得，;電場(chǎng)分布則為， (2) 見解析

【解析】

（1）穩(wěn)定時(shí)，系中導(dǎo)體板上表面電荷運(yùn)動(dòng)形成沿軸方向的面電流，電流線密度大小為．

下表面電荷運(yùn)動(dòng)形成沿軸負(fù)方向的面電流，電流線密度大小為．

據(jù)磁場(chǎng)安培環(huán)路定理，這兩個(gè)反向面電流在導(dǎo)體板上、下方區(qū)域和板內(nèi)區(qū)域形成的附加磁場(chǎng)分別為

，．

全空間磁場(chǎng)分布便為，．

導(dǎo)體板上、下表面電荷在空間形成的附加電場(chǎng)為，，

為軸方向上的單位矢量．

全空間電場(chǎng)分布為，．

導(dǎo)體板內(nèi)微觀帶點(diǎn)粒子受力平衡，有，．

又，所以，．

進(jìn)而可得，．

電場(chǎng)分布則為，．

（2）系中導(dǎo)體板上表面面積和總電荷量記為和，系中對(duì)應(yīng)量分別記為和，則有

，．

系中電荷面密度便為，

所以，．

此電荷在系全空間形成附加電場(chǎng)為，．

①電荷只能來源于原靜電場(chǎng)產(chǎn)生的靜電感應(yīng)，又因?qū)�體板無論開始時(shí)放在系中沿軸上、下方何處均有電荷積累，故系中必有分布于全空間的原勻強(qiáng)電場(chǎng)，即有

，

便得，．

（在系中，導(dǎo)體板垂直于、軸方向的側(cè)面上無面電荷分布，也可用來說明必沿軸方向）

②、求解

考慮系中導(dǎo)體板上方（或下方）初始沿軸方向運(yùn)動(dòng)的帶電質(zhì)點(diǎn)，因受洛侖茲力，將做平面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)（此處及如下討論中均不考慮重力場(chǎng)的存在）．按照題文中的說明，該帶電質(zhì)點(diǎn)在系中不會(huì)出現(xiàn)沿軸方向的分運(yùn)動(dòng)及運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)．又因?yàn)?/span>系中該帶電質(zhì)點(diǎn)所受電場(chǎng)力沿軸方向，故磁場(chǎng)力不會(huì)出現(xiàn)軸方向分量，即不存在分量．

考慮系中導(dǎo)體板上方（或下方）帶電為的初始靜止質(zhì)點(diǎn)，因受力為零，故將保持靜止?fàn)顟B(tài)．該質(zhì)點(diǎn)在系中必沿軸負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，不存在沿軸方向的分運(yùn)動(dòng)及運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，故磁場(chǎng)力不會(huì)出現(xiàn)軸方向分量，即不存在分量．

如上結(jié)論可判斷：沿軸方向．

此外，該質(zhì)點(diǎn)在系中受力平衡，即向下的磁場(chǎng)力與向上的電場(chǎng)力之和必定為零，應(yīng)有

（或）（或），

得．

的求解．

系中導(dǎo)體板上、下表面電荷靜止，沒有相對(duì)系的面電流．據(jù)磁場(chǎng)安培環(huán)路定理，得

．

③下面驗(yàn)證相對(duì)論電作用場(chǎng)變化公式的“手抄版”．

可由系：，，，

，，

得到：，，

．

比較可知與前面所得的不符．

，

（＋、－號(hào)之誤未影響此結(jié)果），

．

，與前面所得的一致．

因此，“手抄版”中表達(dá)式有誤，應(yīng)糾正為．

由系：，，，

，，

得到系：，，

（表達(dá)式已被糾正）．

與前面所得結(jié)論一致．

，，．

則與前面所得不符，因此，“手抄版”中表達(dá)式有誤，應(yīng)糾正為．

附注：

系中若在導(dǎo)體板內(nèi)區(qū)域放一個(gè)相對(duì)系靜止的帶電量為的粒子，它不受磁場(chǎng)力，僅受電場(chǎng)力為

．

在系該質(zhì)點(diǎn)沿軸反方向勻速運(yùn)動(dòng)，受力

，．

與相對(duì)論力變換公式一致