Question

質量為1.0×10³kg的汽車，沿傾角為30°的斜坡由靜止開始運動，汽車在運動過程中所受摩擦阻力大小恒為2000N，汽車發動機的額定輸出功率為5.6×10⁴W，開始時以a=1m/s²的加速度做勻加速運動（g=10m/s²）．求：
（1）汽車做勻加速運動的時間t₁；
（2）汽車所能達到的最大速率；
（3）若斜坡長143.5m，且認為汽車達到坡頂之前，已達到最大速率，則汽車從坡底到坡頂需多少時間？

Answer 1

（1）設汽車的牽引力為F，汽車在斜坡上受重力、支持力、摩擦力、牽引力．
根據牛頓第二定律有：F-mgsin30°-f=ma；
設勻加速的末速度為v，根據P=Fv，知道汽車的速度增加，發動機的功率也在增大，當汽車功率增加到額定輸出功率時，速度繼續增加，牽引力就要減小，此時勻加速運動結束．
則有：P_額=Fv；
根據勻加速運動公式有：v=at₁
代入數值，聯立解得：勻加速的時間為：t₁=7s．
（2）當達到最大速度v_m時，汽車做勻速直線運動，此時F=mgsin30°+f
所以有：P_額=（mgsin30°+f）v_m
解得：汽車的最大速度為：v_m=8m/s
（3）汽車勻加速運動的位移為：x₁=

1

2

at₁²=24.5m
在汽車達到額定功率時到汽車到達坡頂這后一階段中，
牽引力對汽車做正功，重力和阻力做負功，設這后一階段中時間為t₂，位移為x₂，根據動能定理有：
Pt₂-（mgsin30°+f）x₂=

1

2

mv_m²-

1

2

mv²
又有x₂=x-x₁
代入數值，聯立求解得：t₂=15s
所以汽車總的運動時間為：t=t₁+t₂=22s
答：（1）汽車做勻加速運動的時間是7s；
（2）汽車所能達到的最大速率是8m/s；
（3）汽車從坡底到坡頂需22s．