Question

在真空室內取坐標系xOy，在x軸上方存在二個方向都垂直于紙面向外的磁場區Ⅰ和Ⅱ（如圖），平行于x軸的虛線MM’和NN’是它們的邊界線，兩個區域在y方向上的寬度都為d、在x方向上都足夠長．Ⅰ區和Ⅱ區內分別充滿磁感應強度為B和

2

3

B的勻強磁場．一帶正電的粒子質量為m、電荷量為q，從坐標原點O以大小為v的速度沿y軸正方向射入Ⅰ區的磁場中．不計粒子的重力作用．
（1）如果粒子只是在Ⅰ區內運動而沒有到達Ⅱ區，那么粒子的速度v滿足什么條件？粒子運動了多長時間到達x軸？
（2）如果粒子運動過程經過Ⅱ區而且最后還是從x軸離開磁場，那么粒子的速度v又滿足什么條件？并求這種情況下粒子到達x軸的坐標范圍？

Answer 1

分析：該題（1）中，粒子在一個磁場中運動，再次等待x軸時，用的時間是半個周期，該問較容易．（2）問中，兩部分的磁場強度不同，故半徑也不同，這是解題的關鍵．根據半徑的公式：r=

mv

qB

，可知粒子在MN之間的半徑是粒子在OM之間半徑的1.5倍，因此要認真仔細地做出運動的圖線，找出各物理量之間的關系，把兩個臨界條件（恰好到達M和恰好到達N）代入公式算出結果．

解答：解：粒子恰好沒有到達M的軌跡如圖，則：R=d
由洛倫茲力提供向心力：qvB=

mv2

R

得：v=

qBd

m

粒子只是在Ⅰ區內運動而沒有到達Ⅱ區，粒子的速度應滿足：v≤

qBd

m

又根據T=

2πR

v

及t=

T

2

得：t=

πm

qB

（2）粒子經過Ⅱ區而且剛好能從x軸離開磁場的軌跡如圖
依題意，有 qvB=

mv2

R1

及 qv

2

3

B=

mv2

R2

由幾何關系得：

R2-d

d

=

R2

R1

整理得：v=

5qBd

3m

設此時粒子離開磁場的坐標為L，則L=2R1+2

(R2-R1)2-(R2-2d)2

聯立以上3個公式，整理得：L=

14

3

d
故粒子速度應滿足：

qBd

m

＜v≤

5qBd

3m

粒子到達x軸的坐標范圍為：2d＜x≤

14

3

d
答：（1）粒子的速度v滿足：v≤

qBd

m

粒子運動的時間：t=

πm

qB

；（2）該情況下粒子的速度v又滿足：

qBd

m

＜v≤

5qBd

3m

；粒子到達x軸的坐標范圍為：2d＜x≤

14

3

d

點評：該題考查帶電粒子在勻強磁場中的運動，（1）只有一個磁場，較簡單，（2）有兩個強度不同的磁場，要仔細地做出運動的圖線，并結合兩個臨界條件才能正確解題．該題難度較大，屬于難題．