Question

【題目】科技館有一套兒童喜愛的機械裝置，其結構簡圖如下：傳送帶部分水平，其長度，傳送帶以4m/s的速度順時針勻速轉動，大皮帶輪半徑，其下端點與圓弧軌道的點在同一水平線上，點為圓弧軌道的最低點，圓弧對應的圓心角且圓弧軌道的半徑，點和傾斜傳送帶的下端點平滑連接，傾斜傳送帶長為，其傾角。某同學將一質量為0．5kg且可以視為質點的物塊靜止放在水平傳送帶左端處，物塊經過點后恰能無碰撞地從點進入圓弧軌道部分，當經過點時，圓弧給物塊的摩擦力，然后物塊滑上傾斜傳送帶。物塊與圓弧的動摩擦因數未知，與其它接觸面間的動摩擦因數均為，重力加速度，，，，，求：

（1）物塊由到所經歷的時間；

（2）弧對應的圓心角為多少；

（3）若要物塊能被送到端，傾斜傳送帶順時針運轉的速度應滿足的條件及物塊從端到端所用時間的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）0.9s（2）45°（3）傳送帶的速度應滿足：，物體運動的時間范圍是：

【解析】

（1）放在水平傳送帶上的物體受到重力、支持力和摩擦力的作用，摩擦力提供水平方向的加速度，由牛頓第二定律得：

所以：

物體加速到4m/s的時間：

在加速階段的位移：

物體做勻速直線運動的時間：

物塊由到所經歷的時間：

；

（2）若物體能在點恰好離開傳送帶做平拋運動，則滿足：

所以：

所以物體能夠在點離開傳送帶做平拋運動，平拋運動的時間：

到達點時物體沿豎直方向的分速度：

到達點時物體的速度與水平方向的夾角：

所以：

如圖

即弧對應的圓心角為45°；

（3）當經過點時，圓弧給物塊的摩擦力，所以物體在點受到的支持力：

物體在點時，支持力與重力的分力提供向心力得：

代入數據得：

物體在傾斜的傳送帶上受到重力、支持力和滑動摩擦力的作用，滑動摩擦力：

重力沿斜面向下的分力：

可知物體不可能相對于傳送帶靜止，所以物體在傳送帶上將一直做減速運動，物體恰好到達點時的速度為0。

Ⅰ、若傳送帶的速度大于等于物體在點的速度，則物體受到的摩擦力的方向向上，物體一直以不變的加速度向上做減速運動；此時：

，

物體的位移為：

即：

，

代入數據解得：

，（或，該時間不合題意，要舍去）

Ⅱ、若傳送帶的速度小于物體在點的速度，則物體先相對于傳送帶向上運動，受到的摩擦力的方向向下；當物體的速度小于傳送帶的速度后，受到的摩擦力的方向向上，物體繼續向上做減速運動，加速度的大小發生變化。

設物體恰好能到達點時，傳送帶的速度是，且，物體到達點的速度為0。

物體的速度大于傳送帶的速度時，物體受到的摩擦力的方向向下，此時：

，

則：

物體的速度小于傳送帶的速度時，物體受到的摩擦力的方向向上，則：

物體位移為：

可得：

物體從點運動到點的總時間：

綜合以上的分析可知，若要物體能夠到達點，傳送帶的速度應滿足：，物體運動的時間范圍是：