Question

【題目】類比是邏輯推理中極富創(chuàng)造性的一種方法，科學(xué)史上很多重大發(fā)現(xiàn)、發(fā)明往往發(fā)端于類比，例如科學(xué)家受行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的啟發(fā)，在構(gòu)建原子模型時(shí)猜想電子繞原子核也做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

(1)一質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r。將地球視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，求衛(wèi)星的速度大小v和動(dòng)能Ek；

(2)在玻爾的氫原子理論中，電子繞原子核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是量子化的。電子的軌道半徑和動(dòng)量必須滿足量子化條件，式中h是普朗克常量，r是軌道半徑，v是電子在該軌道上的速度大小，n是軌道量子數(shù)，可以取1、2、3……等正整數(shù)。已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為-e，靜電力常量為k，試根據(jù)上述量子化條件，證明電子在任意軌道運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能表達(dá)式可以寫為，其中A是與n無關(guān)的常量。

Answer 1

【答案】(1)，；(2)見解析

【解析】

(1)根據(jù)牛頓第二定律

解得衛(wèi)星的速度大小

衛(wèi)星的動(dòng)能

(2)根據(jù)牛頓第二定律

結(jié)合題中給出的量子化條件

聯(lián)立推得

可得電子的動(dòng)能

由此可知

其中

是與n無關(guān)的常量