Question

【題目】由某種金屬材料制成的圓柱形導(dǎo)體，將其兩端與電源連接，會(huì)在導(dǎo)體內(nèi)部形成勻強(qiáng)電場(chǎng)，金屬中的自由電子會(huì)在電場(chǎng)力作用下發(fā)生定向移動(dòng)形成電流。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，該金屬單位體積的自由電子數(shù)為n。

（1）若電源電動(dòng)勢(shì)為E，且內(nèi)阻不計(jì)，

a. 求電源從正極每搬運(yùn)一個(gè)自由電子到達(dá)負(fù)極過(guò)程中非靜電力所做的功W非；

b. 從能量轉(zhuǎn)化與守恒的角度推導(dǎo)：導(dǎo)體兩端的電壓U等于電源的電動(dòng)勢(shì)E；

（2）經(jīng)典的金屬電子論認(rèn)為：在外電場(chǎng)（由電源提供的電場(chǎng)）中，金屬中的自由電子受到電場(chǎng)力的驅(qū)動(dòng)，在原熱運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上疊加定向移動(dòng)，如圖所示。在定向加速運(yùn)動(dòng)中，自由電子與金屬正離子發(fā)生碰撞，自身停頓一下，將定向移動(dòng)所獲得的能量轉(zhuǎn)移給金屬正離子，引起正離子振動(dòng)加劇，金屬溫度升高。自由電子在定向移動(dòng)時(shí)由于被頻繁碰撞受到阻礙作用，這就是電阻形成的原因。

自由電子定向移動(dòng)的平均速率為v，熱運(yùn)動(dòng)的平均速率為u，發(fā)生兩次碰撞之間的平均距離為x。由于v<<u，所以自由電子發(fā)生兩次碰撞的時(shí)間間隔主要由熱運(yùn)動(dòng)決定。自由電子每次碰撞后的定向移動(dòng)速率均變?yōu)榱恪?/span>

a. 求該金屬的電阻率ρ，并結(jié)合計(jì)算結(jié)果至少說(shuō)明一個(gè)與金屬電阻率有關(guān)的宏觀因素；

b. 該導(dǎo)體長(zhǎng)度為L，截面積為S。若將單位時(shí)間內(nèi)導(dǎo)體中所有自由電子因與正離子碰撞而損失的動(dòng)能之和設(shè)為ΔEk，導(dǎo)體的發(fā)熱功率設(shè)為P，試證明P=ΔEk。

Answer 1

【答案】（1）a.；b.見(jiàn)解析（2）a. 從計(jì)算結(jié)果可知，金屬的電阻率與金屬中單位體積的自由電子數(shù)n、自由電子熱運(yùn)動(dòng)平均速率u和碰撞的平均距離x有關(guān)，所以在宏觀上，電阻率與金屬的種類和溫度有關(guān)；b.見(jiàn)解析

【解析】（1）a.由可知，；

b. 由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律可知，電場(chǎng)力做功等于非靜電力做功，即；

設(shè)電路中的電流為I，則在t時(shí)間內(nèi)

所以有，即；

（2）a. 設(shè)導(dǎo)體長(zhǎng)度為L，截面積為S，兩端電壓為U，通過(guò)的電流為I。

電子發(fā)生兩次碰撞之間，在原有的勻速運(yùn)動(dòng)（熱運(yùn)動(dòng)）的同時(shí)，疊加在外電場(chǎng)作用下由靜止開(kāi)始的勻加速運(yùn)動(dòng)（定向移動(dòng)），但因，

所以兩次碰撞的平均時(shí)間間隔，

電子在外電場(chǎng)中做定向移動(dòng)的加速度，

電子碰撞前瞬間的定向移動(dòng)速度，且，

整理可得導(dǎo)體兩端電壓；

設(shè)在Δt時(shí)間內(nèi)流過(guò)導(dǎo)體的電荷量；

由可知：，代入，

與電阻定律比較，有；

從計(jì)算結(jié)果可知，金屬的電阻率與金屬中單位體積的自由電子數(shù)n、自由電子熱運(yùn)動(dòng)平均速率u和碰撞的平均距離x有關(guān)，所以在宏觀上，電阻率與金屬的種類和溫度有關(guān)。（只要說(shuō)出一種因素即可得分）

b. 導(dǎo)體的發(fā)熱功率；

單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)自由電子因與正離子碰撞而損失的動(dòng)能

導(dǎo)體中所有自由電子在單位時(shí)間內(nèi)損失的動(dòng)能之和

所以．