Question

【題目】如果場(chǎng)源是多個(gè)點(diǎn)電荷，電場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和，電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)為各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)的代數(shù)和。若規(guī)定無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，真空中點(diǎn)電荷周?chē)�某點(diǎn)的電勢(shì)φ可表示為，其中k為靜電力常量，Q為點(diǎn)電荷的電荷量，r為該點(diǎn)到點(diǎn)電荷的距離。如圖所示，一個(gè)半徑為R、電荷量為+Q的均勻帶電細(xì)圓環(huán)固定在真空中，環(huán)面水平。一質(zhì)量為m、電荷量- q的帶電液滴，從環(huán)心O正上方D點(diǎn)由靜止開(kāi)始下落。已知D、O間的距離為，靜電力常量為k，重力加速度為g。求

(1)D點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E

(2)液滴到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度v的大小。

Answer 1

【答案】(1) 方向豎直向上；(2)

【解析】

利用微元法求出每個(gè)微元在D點(diǎn)的電場(chǎng)和豎直方向的電場(chǎng)，根據(jù)疊加原理求出D點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度；結(jié)合點(diǎn)電荷的電勢(shì)的公式，求出D、O點(diǎn)的電勢(shì)，然后由功能關(guān)系即可求出液滴到達(dá)O點(diǎn)時(shí)速度v的大小。

解（1）D到環(huán)上的各點(diǎn)的距離為L，則由幾何關(guān)系可知：

將均勻的帶電圓環(huán)分成長(zhǎng)度為的微元，每個(gè)微元帶電量為

每個(gè)微元在D點(diǎn)的電場(chǎng)為

豎直方向的電場(chǎng)

根據(jù)疊加原理可知整個(gè)均勻帶電圓環(huán)在在D點(diǎn)的水平方向的電場(chǎng)抵消為0

整個(gè)均勻帶電圓環(huán)在在D點(diǎn)的豎直方向的電場(chǎng)

D點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，方向豎直向上

（2） 由于環(huán)上的各點(diǎn)到D的距離都是L，則環(huán)上的電荷在D處產(chǎn)生的電勢(shì)為：

則環(huán)上的電荷在O處產(chǎn)生的電勢(shì)為：

負(fù)電荷從D到O的過(guò)程中重力做正功，電場(chǎng)力也做正功，所以到達(dá)O點(diǎn)時(shí)：

所以：