Question

如圖所示，水平虛線X下方區域分布著方向水平、垂直紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，整個空間存在勻強電場（圖中未畫出）．質量為m，電荷量為+q的小球P靜止于虛線X上方A點，在某一瞬間受到方向豎直向下、大小為I的沖量作用而做勻速直線運動．在A點右下方的磁場中有定點O，長為l的絕緣輕繩一端固定于O點，另一端連接不帶電的質量同為m的小球Q，自然下垂．保持輕繩伸直，向右拉起Q，直到繩與豎直方向有一小于5⁰的夾角，在P開始運動的同時自由釋放Q，Q到達O點正下方W點時速率為v₀．P、Q兩小球在W點發生正碰，碰后電場、磁場消失，兩小球粘在一起運動．P、Q兩小球均視為質點，P小球的電荷量保持不變，繩不可伸長，不計空氣阻力，重力加速度為g．
（1）求勻強電場場強E的大小和P進入磁場時的速率v；
（2）若繩能承受的最大拉力為F，要使繩不斷，F至少為多大？
（3）求A點距虛線X的距離s．

Answer 1

分析：（1）勻速運動電場力等于重力，有沖量利用動量定理列方程求解即可．
（2）碰撞過程動量守恒，圓周運動最低點合力提供向心力
（3）相對碰撞時，單擺到達最低點時可能經過的時間為tQ=(n+

1

4

)2π

l g

，同向相碰時，單擺到達最低點時可能經過的時間為tQ′=(n+

3

4

)2π

l g

，本題要分情況討論．

解答：解：
（1）設小球P所受電場力為F₁，則F₁=qE
在整個空間重力和電場力平衡，有F_l=mg
聯立相關方程得E=

mg

q

設小球P受到沖量后獲得速度為v，由動量定理得I=mv
得v=

I

m

（2）設P、Q同向相碰后在W點的最大速度為v_m，由動量守恒定律得
mv+mv₀=（m+m）v_m
此刻輕繩的張力也為最大，由牛頓運動定律得F-（m+m）g=

(m+m)

l

v_m²
聯立相關方程，得F=( 

I+mv0

2ml

)2+2mg
（3）設P在肖上方做勻速直線運動的時間為h，則t_P1=

s

v

設P在X下方做勻速圓周運動的時間為t_P2，則
t_P2=

πm

2Bq

設小球Q從開始運動到與P球反向相碰的運動時間為t_Q，由單擺周期性，有tQ=(n+

1

4

)2π

l g

由題意，有    t_Q=t_P1+t_P2   
聯立相關方程，得s=(n+

1

4

)

2πI

m

l g

-

πI

2Bq

n為大于(

m

4Bq

g l

-

1

4

)的整數
設小球Q從開始運動到與P球同向相碰的運動時間為t_Q^?，由單擺周期性，有tQ′=(n+

3

4

)2π

l g

同理可得s=(n+

3

4

)

2πI

m

l g

-

πI

2Bq

    其中n為大于(

m

4Bq

g l

-

3

4

)的整數
答：（1）勻強電場場強E的大小E=

mg

q

，P進入磁場時的速率v=

I

m

；
    （2）要使繩不斷，F至少為F=( 

I+mv0

2ml

)2+2mg
    （3）若兩球反向相碰，A點距虛線X的距離s=(n+

1

4

)

2πI

m

l g

-

πI

2Bq

 其中n為大于(

m

4Bq

g l

-

1

4

)的整數
         若兩球同向相碰，A點距虛線X的距離s=(n+

3

4

)

2πI

m

l g

-

πI

2Bq

 其中n為大于(

m

4Bq

g l

-

3

4

)的整數

點評：本題主要考查了帶電粒子在混合場中運動的問題，要求同學們能通過粒子的運動情況，正確分析受力情況，熟練掌握圓周運動及平拋運動的基本公式，本題還考查了動量定理、動量守恒定律、單擺周期公式，綜合性強，難度較大．