Question

如圖所示，在粗糙的水平面上放有質量為M=0.3kg的絕緣長木板，有一質量為m=0.2kg，帶電量為q=+4×10^-5C的小滑塊（可視為質點）正沿木板的上表面向左運動．木板左端有一個固定在水平面上的四分之一光滑圓形絕緣軌道AB與之相接，軌道的最低點B點與木板的上表面相切．整個空間加有一個方向豎直向下、場強大小為E=5×10⁴N/C的勻強電場．已知滑塊與木板間的動摩擦因數為μ₁=0.25，木板與水平面間的動摩擦因素為μ₂=0.1，滑塊在木板上向左運動至距離B點x=0.3m處時速度大小為v₀=2

3

m/s．（g取10m/s²）
求：
（1）滑塊通過木板滑上固定的光滑圓形軌道AB，沿軌道AB上升的最大高度H；
（2）滑塊沿軌道AB返回運動至B點的速度v_B的大小；
（3）滑塊沿軌道AB返回運動滑上木板，要使滑塊不從木板上掉下來，木板的長度L至少應為多少？
（4）在滿足（3）的條件下，求滑塊停止運動時與B點的距離△x是多少？

Answer 1

分析：（1）對于滑塊上升到最高點過程，重力、電場力、摩擦力做功，根據動能定理求出滑塊上升的最大高度H；
（2）滑塊從開始運動到返回至B點處過程，摩擦力和電場力做功，再由動能定理求解速度v_B的大小；
（3）滑塊沿軌道AB返回運動滑上木板，滑塊做勻減速運動，木塊做勻加速運動，當兩者速度相等時，兩者所走的位移之差即為木板的長度的最小值．由牛頓第二定律和運動學公式結合求解．
（4）由幾何關系求出滑塊停止運動時與B點的距離△x．

解答：解：（1）對于滑塊上升到最高點過程根據動能定理得：
  -μ1(qE+mg)?x-(qE+mg)?H=0-

1

2

m

v

2 0

解得：H=

m v 2 0

2(qE+mg)

-μ1x=0.225m
（2）對于滑塊從開始運動到返回至B點處過程根據動能定理得：
  -μ1(qE+mg)?x=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

解得：vB=

v 2 0 - 2μ1(qE+mg)?x m

=3m/s
（3）滑塊又滑上木板后做勻減速運動，滑塊的加速度為a₁=

μ1(mg+qE)

m

=5m/s²．
由于f₁=μ₁（mg+qE）=2N，f₂=μ₂（qE+mg+Mg）=0.7N，則μ₁（mg+qE）＞μ₂（qE+mg+Mg），所以木板由靜止開始做勻加速運動，加速度大小為
  a₂=

f1-f2

M

=1m/s²，
設兩者經過時間t速度相等，則  v_B-a₁t=a₂t，解得，t=0.5s
速度相等之后，滑塊與木板相對靜止做勻減速運動直至停止．那么速度相等時，兩者所走的位移之差即為木板的長度的最小值，
則在兩者相對滑動的過程中，滑塊的位移為s₁=vBt-

1

2

a1t2，木板的位移為s₂=

1

2

a2t2
木板的長度的最小值為：L=△s=s₁-s₂，
代入解得，△s=0.75m．
（4）速度相等之后，根據動能定理得
-μ₂（mg+Mg+F）s_共=0-

1

2

(M+m)v2
又 v=a₂t．
解得，s_共=

5

56

m
（4）滑塊停止運動時與B點的距離△x=s1+s共=

7

8

+

5

56

=

27

28

m
答：（1）滑塊通過木板滑上固定的光滑圓形軌道AB，沿軌道AB上升的最大高度H為0.225m；
（2）滑塊沿軌道AB返回運動至B點的速度v_B的大小是3m/s；
（3）滑塊沿軌道AB返回運動滑上木板，要使滑塊不從木板上掉下來，木板的長度L至少應為0.75m．
（4）在滿足（3）的條件下，滑塊停止運動時與B點的距離△x是

27

28

m．

點評：本題的關鍵要耐心細致地分析物體的運動過程，根據木板所受的滑動摩擦力與最大靜摩擦力的關系，判斷木板的運動狀態，運用動能定理、牛頓第二定律和運動學公式結合進行處理．