Question

【題目】兩個半徑均為R的圓形光滑細管道組成的軌道CDE豎直放置在水平面上，O1和O2為兩細管道圓心，一勁度系數為k的輕質彈簧右端固定，左端處于原長P點處，已知彈簧原長足夠長，EP間距離為R。一質量為m的滑塊（可視為質點）從A點以初速度斜向上拋出，從C點沿水平方向進入管道，對C處上方軌道的壓力恰好為mg，已知滑塊與地面間的動摩擦因數為，彈簧的彈性勢能EP與形變量x的關系是。

（1）求滑塊從A點拋出時初速度的大小和速度方向與地面夾角的正切值；

（2）若，求滑塊穿過管道后第一次壓縮彈簧時的最大壓縮量；

（3）要使滑塊能再次返回細管道CDE但又不能從C點離開軌道，問勁度系數k應滿足的條件。

Answer 1

【答案】（1）；；（2）R；（3）

【解析】

（1）對C點分析，根據牛頓第二定律

可得；

根據逆向思維，A到C看成反方向的平拋運動由

可得；

因此A點拋出時的初速度

速度與水平面夾角的正切值

（2）設從C點沿軌道下滑后，第一次壓縮彈簧的最大形變量為，由能量守恒得

得

（3）要使滑塊再次返回C點，應滿足以下三個條件

條件1：，得到

條件2：滑塊要返回CDE管道，必須要能返回E點

即，得到

條件3：細管道CDE但又不能從C點離開軌道，要求第一次返回C點時

滿足，得到

因此勁度系數k應滿足。