Question

（04年江蘇卷）(15分)如圖所示，半徑為R、圓心為O的大圓環固定在豎直平面內，兩個輕質小圓環套在大圓環上。一根輕質長繩穿過兩個小圓環，它的兩端都系上質量為m的重物，忽略小圓環的大小。

 

（1）將兩個小圓環固定在大圓環豎直對稱軸的兩側θ=30°的位置上(如圖)。在―兩個小圓環間繩子的中點C處，掛上一個質量M=m的重物，使兩個小圓環間的繩子水平，然后無初速釋放重物M。設繩子與大、小圓環間的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離。

（2）若不掛重物M，小圓環可以在大圓環上自由移動，且繩子與大、小圓環間及大、小圓環之間的摩擦均可以忽略，問兩個小圓環分別在哪些位置時，系統可處于平衡狀態? 

Answer 1

解析：

（1）重物向下先做加速運動，后做減速運動，當重物速度為零時，下降的距離最大。

設下降的最大距離為，由機械能守恒定律得

 

           

 

解得 

 

（另解h=0舍去）

 

（2）系統處于平衡狀態時，兩小環的可能位置為

a．兩小環同時位于大圓環的底端。

b．兩小環同時位于大圓環的頂端。

c．兩小環一個位于大圓環的頂端，另一個位于大圓環的底端。

d．除上述三種情況外，根據對稱性可知，系統如能平衡，則兩小圓環的位置一定關于大圓環豎直對稱軸對稱。設平衡時，兩小圓環在大圓環豎直對稱軸兩側角的位置上(如圖所示)。

對于重物，受繩子拉力與重力作用，有：

    對于小圓環，受到三個力的作用，水平繩子的拉力、豎直繩子的拉力、大圓環的支持力。兩繩子的拉力沿大圓環切向的分力大小相等，方向相反

 

    

 

得,而，所以 。