Question

如圖（甲）所示為一種研究高能粒子相互作用的裝置，兩個(gè)直線加速器均由k個(gè)長(zhǎng)度逐個(gè)增長(zhǎng)的金屬圓筒組成（整個(gè)裝置處于真空中，圖中只畫(huà)出了6個(gè)圓筒，作為示意），它們沿中心軸線排列成一串，各個(gè)圓筒相間地連接到正弦交流電源的兩端．設(shè)金屬圓筒內(nèi)部沒(méi)有電場(chǎng)，且每個(gè)圓筒間的縫隙寬度很小，帶電粒子穿過(guò)縫隙的時(shí)間可忽略不計(jì)．為達(dá)到最佳加速效果，需要調(diào)節(jié)至粒子穿過(guò)每個(gè)圓筒的時(shí)間恰為交流電的半個(gè)周期，粒子每次通過(guò)圓筒間縫隙時(shí)，都恰為交流電壓的峰值．質(zhì)量為m、電荷量為e的正、負(fù)電子分別經(jīng)過(guò)直線加速器加速后，從左、右兩側(cè)被導(dǎo)入裝置送入位于水平面內(nèi)的圓環(huán)形真空管道，且被導(dǎo)入的速度方向與圓環(huán)形管道中粗虛線相切．在管道內(nèi)控制電子轉(zhuǎn)彎的是一系列圓形電磁鐵，即圖中的A₁、A₂、A₃…A_n，共n個(gè)，均勻分布在整個(gè)圓周上（圖中只示意性地用細(xì)實(shí)線畫(huà)了幾個(gè)，其余的用細(xì)虛線表示），每個(gè)電磁鐵內(nèi)的磁場(chǎng)都是磁感應(yīng)強(qiáng)度均相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域都是直徑為d的圓形．改變電磁鐵內(nèi)電流的大小，就可改變磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，從而改變電子偏轉(zhuǎn)的角度．經(jīng)過(guò)精確的調(diào)整，可使電子在環(huán)形管道中沿圖中粗虛線所示的軌跡運(yùn)動(dòng)，這時(shí)電子經(jīng)過(guò)每個(gè)電磁鐵時(shí)射入點(diǎn)和射出點(diǎn)都在圓形運(yùn)強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的同一條直徑的兩端，如圖（乙）所示．這就為實(shí)現(xiàn)正、負(fù)電子的對(duì)撞作好了準(zhǔn)備．
（1）若正、負(fù)電子經(jīng)過(guò)直線加速器后的動(dòng)能均為E₀，它們對(duì)撞后發(fā)生湮滅，電子消失，且僅產(chǎn)生一對(duì)頻率相同的光子，則此光子的頻率為多大？（已知普朗克恒量為h，真空中的光速為c．）
（2）若電子剛進(jìn)入直線加速器第一個(gè)圓筒時(shí)速度大小為v₀，為使電子通過(guò)直線加速器后速度為v，加速器所接正弦交流電壓的最大值應(yīng)當(dāng)多大？
（3）電磁鐵內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為多大？

Answer 1

分析：（1）電子泯滅后產(chǎn)生的光子能量為：E=E0+mc2，再由光子能量表達(dá)式E=hv可以解出結(jié)果．
（2）這里有個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是經(jīng)過(guò)k個(gè)圓筒其縫隙個(gè)數(shù)不是k個(gè)而是（k-1）個(gè)．這點(diǎn)錯(cuò)不了這一問(wèn)就沒(méi)問(wèn)題．
（3）這個(gè)需要畫(huà)粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的圖象，由此來(lái)找半徑和圓心角的關(guān)系，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)中適當(dāng)?shù)年P(guān)于半徑的表達(dá)式，可以解得結(jié)果．可以說(shuō)圖象在粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題當(dāng)中至關(guān)重要，本題中由于導(dǎo)體管道里面有n個(gè)圓形磁鐵，所以每個(gè)對(duì)應(yīng)的圓心角就是

2π

n

．然后結(jié)合具體圖象，可以得到圓心角和半徑的關(guān)系式．至此問(wèn)題就基本解決．

解答：解：（1）一對(duì)正、負(fù)電子對(duì)撞后湮滅產(chǎn)生一對(duì)光子，所以一個(gè)光子的能量與一個(gè)電子的能量相等，即每個(gè)光子的能量為E=E₀+mc²
設(shè)光子的頻率為γ，則上式可寫(xiě)作：hγ=E0+mc2
解得：γ=（E₀+mc²）

1

h

．
（2）電子在直線加速器中，經(jīng)過(guò)k個(gè)圓筒間的（k-1）個(gè)縫隙間的電場(chǎng)后，時(shí)共經(jīng)歷（k-1）次加速，每當(dāng)電子運(yùn)動(dòng)至筒間縫隙時(shí)交流電壓的瞬時(shí)值應(yīng)為最大值U_m
根據(jù)動(dòng)能定理
(k-1)eUm=

1

2

mv2-

1

2

mv02

解得U_m=

m(v2-v02)

2e(k-1)

（3）設(shè)電子經(jīng)過(guò)1個(gè)電磁鐵的圓形磁場(chǎng)區(qū)時(shí)偏轉(zhuǎn)角度為θ，則 θ=

2π

n

由圖可知，電子射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)時(shí)與通過(guò)射入點(diǎn)的直徑夾角為

1

2

θ
電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)作圓運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力
evB=

mv2

R

解得：R=

mv

Be

根據(jù)幾何關(guān)系   sin

θ

2

=

d

2R

解得  B=

2mvsin π n

de

答：（1）光子的頻率為v═(E0+mc2)/h
（2）正弦交流電壓的最大值Um=

m(v2- v 2 0 )

2e(k-1)

（3）電磁鐵內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

2mvsin π n

de

點(diǎn)評(píng)：本題題目描述很繁雜，看上去難度很大，但是越是這樣的往往越簡(jiǎn)單，因?yàn)樗�描述的多已知量相�?yīng)就多，過(guò)程相應(yīng)就比較詳盡，這有助于我們解題，所以遇見(jiàn)這樣看似很難的題目不要慌張，仔細(xì)讀完，梳理出題目的各個(gè)過(guò)程，各個(gè)量的關(guān)系，然后建立起物理模型，然后選擇相應(yīng)的物理規(guī)律，定律，定理，一般都能解決．