Question

【題目】我國將于2020年首次探測火星。火星與地球的環(huán)境非常相近，很有可能成為人類的第二個家園。已知火星的質(zhì)量為m，火星的半徑為R，太陽質(zhì)量為M，且，萬有引力常量為G。太陽、火星均可視為質(zhì)量分布均勻的球體。不考慮火星自轉(zhuǎn)。

（1）設想在火星表面以初速度v0豎直上拋一小球，求小球從拋出至落回拋出點所經(jīng)歷的時間t。

（2）為簡化問題，研究太陽與火星系統(tǒng)時可忽略其他星體的作用，只考慮兩者之間的引力作用。

a．通常我們認為太陽靜止不動，火星繞太陽做勻速圓周運動。已知火星繞太陽運動的軌道半徑為r，請據(jù)此模型求火星的運行周期T1。

b．事實上太陽因火星的吸引不可能靜止，但二者并沒有因為引力相互靠近，而是保持間距r不變。請由此構(gòu)建一個太陽與火星系統(tǒng)的運動模型，據(jù)此模型求火星的運行周期T2與T1的比值；并說明通常認為太陽靜止不動的合理性。

Answer 1

【答案】（1）；（2）a.；b. .

【解析】

（1）設火星表面的重力加速度為g，則

①

火星表面質(zhì)量為m1的物體所受重力與萬有引力相等，有

②

聯(lián)立①②式可得

（2）a.對火星，萬有引力提供向心力，有

可得

③

b.太陽與火星構(gòu)成“雙星”模型，即二者都圍繞它們連線上的某一定點O做周期相同的勻速圓周運動。設火星的運行半徑為r1，太陽的運行半徑為r2。

對火星有

④

對太陽有

⑤

r1+r2=r ⑥

聯(lián)立③④⑤⑥式可得

⑦

聯(lián)立④⑤⑥式可得

⑧

一方面，因，由⑦式得，可見運行周期幾乎相等：另一方面，由⑧式得r2≈0，即太陽幾乎與定點O位置重合，所以通常認為太陽靜止不動是合理的。