Question

【題目】如圖所示，以、為端點的1/4光滑圓弧軌道固定于豎直平面，一長滑板靜止在光滑水平地面上，左端緊靠點，上表面所在平面與圓弧軌道相切于點。離滑板右端處有一豎直固定的擋板，一物塊從點由靜止開始沿軌道滑下，經滑上滑板。已知物塊可視為質點，質量為，滑板質量，圓弧軌道半徑為，物塊與滑板間的動摩擦因數為，重力加速度為。滑板與擋板和端的碰撞沒有機械能損失。

（1）求物塊滑到點的速度大小：

（2）求滑板與擋板碰撞前瞬間物塊的速度大小；

（3）要使物塊始終留在滑板上，求滑板長度最小值。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）對物塊由到過程中：

解得：

（2）設滑板與碰撞前，物塊與滑板具有共同速度，取向右為正，對物塊與滑板購成的系統，由動量守恒定律有：

設此過程滑板運動的位移為，對滑板由動能定理得：

聯立解得：

假設不成立，滑板與擋板碰撞前瞬間未達到共速設碰前瞬間滑塊速度為，由動能定理得：

（可得：）

滑板撞前加速度為： （得：）

該過程運動時間為：

滑板撞前物塊加速度為： （得：）

滑板撞前瞬間物塊速度為：

（3）由于滑板與擋板的碰撞沒有機械能損失，所以滑板與擋板碰撞后速度大小不變，方向向左。此后滑板作勻減速運動，物塊先向右減速，再向左加速運動。

設兩者第二次具有共同速度為，取向左為正，有：

設此時滑板離的距離為，由動能定理：

解得：

全程物塊和滑板對地位移分別為：

因此滑板長度最小值即相對位移為：