Question

如圖所示是一個同學所設計的一個實驗裝置；一個內壁光滑的矩形框架豎直固定在水平地面上，一個質量為M=0.48kg、半徑為R=0.5m的金屬光滑圓環(huán)豎直放在框架內，圓環(huán)左右剛好和框架兩壁相接觸．一個質量為m=0.1kg的光滑金屬小球放在圓環(huán)內的底部．在圓環(huán)底部突然敲擊一下小球，使小球突然獲得一個水平的初速度，小球便在圓環(huán)內運動．該同學通過實驗總結出：小球初速度存在一個范圍，在此范圍內，小球既能夠在圓環(huán)內做完整的圓周運動，且小球運動到圓環(huán)的最高點時，圓環(huán)還不能離開框架底部．重力加速度為g=10m/s²．請你幫助該同學求出小球初速度的這一范圍．

Answer 1

分析：當小球的初速度最小值時，小球到最高點對圓環(huán)沒有壓力，根據向心力與機械能守恒定律求出初速度最小值．
小球的初速度為最大值時，小球到最高點，圓環(huán)對框架恰好沒有壓力，根據向心力與機械能守恒定律求出初速度最大值．

解答：解：（1）當小球的初速度最小值為v₁時，設小球到最高點的速度為v，此時小球在最高點時對圓環(huán)沒有壓力，有：
對小球：最低點到最高點有

1

2

mv

2 1

=

1

2

mv2+2mgR
在最高點：mg=

mv2

R

解得：v₁=

5gR

=5m/s
（2）當小球的初速度為最大值v₂時，設小球到最高點的速度為v′，此時小球在最高點時，圓環(huán)對框架恰好沒有壓力，
設此時圓環(huán)對小球的壓力為F，
對小球：最低點到最高點有

1

2

mv

2 2

=

1

2

mv′2+2mgR
在最高點：F+mg=

mv′2

R

對圓環(huán)有：F=Mg
解得：v₂=7m/s
所以小球的初速度范圍為：5m/s≤v₀≤7m/s．
答：小球初速度的范圍是5m/s≤v₀≤7m/s．

點評：本題考查向心力與機械能守恒定律結合分析問題的能力．對于小球在光滑圓軌道內側運動到最高點的臨界速度與細繩拴的小球模型相同為

gR

．