Question

【題目】如圖甲所示，工廠利用傾角θ=30°的皮帶傳輸機，將每個質量為m=5kg的木箱從地面運送到高為h=5.25m的平臺上，機械手每隔1s就將一個木箱放到傳送帶的底端，傳送帶的皮帶以恒定的速度順時針轉動且不打滑．木箱放到傳送帶上后運動的部分v﹣t圖象如圖乙所示，已知各木箱與傳送帶間的動摩擦因數都相等．若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2 ． 求：

（1）木箱與傳送帶間的動摩擦因數μ；
（2）傳送帶上最多有幾個木箱同時在向上輸送；
（3）皮帶傳輸機由電動機帶動，從機械手放上第一個木箱開始計時的10分鐘內，因為木箱的放入，電動機需要多做的功．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由乙圖可知，木箱運動的加速度為：a= =1m/s2，

皮帶勻速運動的速度為：v=1m/s，

根據牛頓第二定律得：μmgcosθ﹣mgsinθ=ma

解得：

（2）

解：木箱加速運動的位移為： ，

木箱相對皮帶靜止后，相鄰兩個木箱之間的距離都相等，有：△L=vt=1m

傳送帶的長度為：L= ，

L=10△L+x1，

所以傳送帶上最多同時存在的木箱個數為11個

（3）

解：木箱再傳送帶上運動時，和皮帶間的相對位移為：△x=vt﹣x1=1×1﹣0.5=0.5m，

和皮帶間的摩擦產生的熱量為：Q1=μmgcosθ△x=15J

木箱最終增加的動能為： ，

木箱到達平臺增加的重力勢能為：EP=mgh=262.5J，

從開始的10分鐘內共傳送木箱的個數N=10×60=600個，其中590個已經到達平臺，還有10個正在傳送帶上，

到達平臺的590個，電動機做的功為：W1=590（Q1+EK1+EP1）=165200J，

在傳送帶上的已經開始運動得10個木箱增加的動能為：10EK1=25J，

10個木箱的摩擦生熱為：10Q1=150J，

10個木箱增加的重力勢能共為：EP′=10mg△xsin30°+mg△Lsin30°+2mg△Lsin30°+…+9mg△Lsin30°=10mg△xsin30°+mgLsin30°（1+2+3+…+9）=1250J，

所以電動機多做的功為：W=W1+10EK1+10Q1+EP′=166625J

【解析】（1）由乙圖得出木箱運動的加速度和皮帶運動的速度，根據牛頓第二定律求解動摩擦因數μ；（2）根據運動學基本公式求出木箱加速的位移，木箱相對皮帶靜止后，相鄰兩個木箱之間的距離都相等，結合傳送帶的長度列式求解即可；（3）先求出一個木箱在傳送帶上運動時產生的熱量和增加的動能和重力勢能，再求出從開始的10分鐘內共傳送木箱的個數，求和即可電動機需要多做的功．
【考點精析】掌握功能關系是解答本題的根本，需要知道當只有重力（或彈簧彈力）做功時，物體的機械能守恒；重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少:W G =E p1 -E p2；合外力對物體所做的功等于物體動能的變化:W 合 =E k2 -E k1 （動能定理）；除了重力（或彈簧彈力）之外的力對物體所做的功等于物體機械能的變化:W F =E 2 -E 1．