Question

如圖所示，位于豎直平面內的光滑軌道，由一段斜的直軌道與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R．一質量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運動．要求物塊能通過圓形軌道最高點，且在該最高點與軌道間的壓力不能超過5mg（g為重力加速度）．求物塊初始位置相對于圓形軌道底部的高度h的取值范圍．

Answer 1

分析：要求物塊相對于圓軌道底部的高度，必須求出物塊到達圓軌道最高點的速度，在最高點物體做圓周運動的向心力由重力和軌道對物體的壓力提供，當壓力恰好為0時，h最小；當壓力最大時，h最大．

解答：解：若物體恰好能夠通過最高點，則有
mg=m

v12

R

解得v₁=

gR

初始位置相對于圓軌道底部的高度為h₁，
則根據機械能守恒可得
mgh₁=2mgR+

1

2

mv12
解得h₁=

5

2

R
當小物塊對最高點的壓力為5mg時，
有5mg+mg=m

v22

R

解得v₂=

6gR

初始位置到圓軌道的底部的高度為h₂，
根據機械能守恒定律可得
mgh₂=2mgR+

1

2

mv22
解得h₂=5R
故物塊的初始位置相對于圓軌道底部的高度的范圍為

5R

2

≤ h≤5R

點評：物體在豎直平面內做圓周運動的過程中在最高點的最小速度必須滿足有mg=m

v12

R

，這是我們解決此類問題的突破口．