Question

如圖，半徑R=0.9m的四分之一圓弧形光滑軌道豎直放置，圓弧最低點B與長為L=1m的水平面相切于B點，BC離地面高h=0.45m，C點與一傾角為θ=30°的光滑斜面連接，質量m=1kg的小滑塊從圓弧頂點D由靜止釋放，已知滑塊與水平面間的動摩擦因數?=0.1，取g=10m/s²．求：
（1）小滑塊剛到達圓弧B點時的速度v_B
（2）它到B點處對圓弧壓力的大小．
（3）小滑塊運動到C點時的速度v_C．
（4）小滑塊從C點運動到地面所需的時間．

Answer 1

分析：（1）物體先做圓周運動，只有重力做功．機械能守恒，由機械能守恒定律可得出球在B點的速度．
（2）滑塊經過B點時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，則由向心力公式可求得小球對圓弧的壓力；
（3）由B到C物體做勻減速運動，可以由動能定理求出C點的速度；
（4）小球離開C后做平拋運動，分析平拋運動能否落到斜面上，若不落在斜面上則由豎直分運動求出時間，若落到斜面上，則要分段考慮．

解答：解：（1）設小滑塊運動到B點的速度為v_B，由機械能守恒定律有：mgR=

1

2

mv_B² ①
解得vB=3

2

m/s
（2）在B點，由牛頓第二定律有   F-mg=m

v 2 B

R

  ②
聯立①②解得在B點F=3mg=30 N
由牛頓第三定律有，小滑塊在B點時對圓弧的壓力F′=F=30N 
（3）設小滑塊運動到C點的速度為v_C，
由動能定理有：mgR-?mgL=

1

2

mv_C²  
解得  v_C=4 m/s   
（4）設小滑塊平拋到地面的水平距離s=v_Ct  
豎直方向：t=

2h g

=0.3s 
則水平距離s=1.2m 
斜面底寬d=hcotθ=0.78m
因為s＞d，所以小滑塊離開C點后不會落到斜面上．
小滑塊從C點運動到地面所需的時間即為小滑塊平拋運動所用時間t=

2h g

=0.3s
答：
（1）小滑塊剛到達圓弧B點時的速度v_B為3

2

m/s．
（2）它到B點處對圓弧壓力的大小是30N．
（3）小滑塊運動到C點時的速度v_C是4m/s
（4）小滑塊從C點運動到地面所需的時間是0.3s．

點評：對于多過程的題目要注意分析不同的過程，若只求速度優先考慮動能定理或機械能守恒，但若題目中涉及時間應采用牛頓運動定律或運動模型的性質．