Question

如圖所示為車站使用的水平傳送帶的模型，它的水平傳送帶的長度為L=8m，傳送帶的皮帶輪的半徑均為R=0.2m，傳送帶的上部距地面的高度為h=0.45m，現有一個旅行包（視為質點）以速度v₀=10m/s的初速度水平地滑上水平傳送帶．已知旅行包與皮帶之間的動摩擦因數為μ=0.6．皮帶輪與皮帶之間始終不打滑，g取10m/s2．討論下列問題：
（1）若傳送帶靜止，旅行包滑到B點時，人若沒有及時取下，旅行包將從B端滑落．則包的落地點距B端的水平距離為多少？
（2）設皮帶輪順時針勻速轉動，若皮帶輪的角速度ω₁=20rad/s，旅行包落地點距B端的水平距離為多少？
（3）設皮帶輪順時針勻速轉動，若皮帶輪的角速度為ω，旅行包落地點距B端的水平距離為多少？（結果可以用ω表示）

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律求出旅行包做勻減速直線運動的加速度大小，根據速度位移公式求出旅行包到達B端的速度，離開B點做平拋運動，根據高度求出平拋運動的時間，從而求出水平位移．
（2）若皮帶輪的角速度ω₁=20rad/s，根據v=Rω求出皮帶線速度的大小，得知旅行包滑上傳送帶做勻減速直線運動，當速度達到傳送帶速度做勻速直線運動．從而根據平拋運動知識求出旅行包落地點距B端的水平距離．
（3）當傳送帶的速度小于2m/s時，旅行包一直做勻減速直線運動，到達B端的速度為2m/s．
當傳送帶的速度大于2m/s，小于10m/s，旅行包先做勻減速直線運動，然后做勻速直線運動．
當傳送帶的速度大于10m/s，小于14m/s，旅行包先做勻加速直線運動，然后做勻速直線運動．
當傳送帶的速度大于14m/s，則旅行包一直做勻加速直線運動．

解答：解：（1）旅行包做勻減速直線運動，a=μg=6m/s²．
旅行包到達B端的速度為v=

v02-2aL

=

100-96

m/s=2m/s．
包的落地點距B端的水平距離為s=vt=v

2h g

=2×

2×0.45 10

m=0.6m．
（2）當ω₁=20rad/s時，皮帶的速度為v₁=Rω₁=4m/s．
所以旅行包到達B端的速度也為4m/s．
包的落地點距B段的水平距離為s=v₁t=4×0.3m=1.2m．
（3）當傳送帶的速度小于2m/s時，即0＜ω＜10rad/s，旅行包一直做勻減速直線運動，到達B端的速度為2m/s，則s=vt=0.6m．
當傳送帶的速度大于2m/s，小于10m/s，即10rad/s＜ω＜50rad/s，旅行包先做勻減速直線運動，然后做勻速直線運動，則s=Rωt=0.06ω．
當傳送帶的速度大于10m/s，小于14m/s，即50rad/s＜ω＜70rad/s，旅行包先做勻加速直線運動，然后做勻速直線運動．則s=Rωt=0.06ω．
當傳送帶的速度大于14m/s，即ω＞70rad/s則旅行包一直做勻加速直線運動．到達B端的速度為14m/s，則s=vt=4.2m．
答：（1）則包的落地點距B端的水平距離為0.6m．
（2）旅行包落地點距B端的水平距離為1.2m．
（3）當0＜ω＜10rad/s，s=vt=0.6m．
當10rad/s＜ω＜50rad/s，s=Rωt=0.06ω．
當50rad/s＜ω＜70rad/s，s=Rωt=0.06ω．
當ω＞70rad/s，s=vt=4.2m．

點評：解決本題的關鍵通過傳送帶的速度，根據旅行包的受力判斷出運動規律，根據牛頓第二定律和運動學公式進行求解．