Question

如圖所示，一束光從空氣射向折射率為n＝的某種玻璃的表面．試證明當入射角i＝arctan時，反射光線與入射光線垂直．

Answer 1

[方法一] 如圖所示，做出入射光線的反射光線及折射光線，并設反射角為、折射角為r、入射光線與界面間夾角為θ、折射光線與界面間的夾角為．由平面幾何知識可知：當反射光線與折射光線垂直時，θ＋＝，
　　
　　
　　聯立⑤、⑥兩式并代入n的值可以解得：i＝arctan
　　此題得證
　　[方法二] 在下圖的直角三角形中表示tani＝，由三角形中的邊角關系可知：sini＝
　　因為i＝
　　
　　
　　比較①、②兩式可知，θ與互為余角，即反射光線與折射光線垂直．

求解幾何光學類型題目，運用數學知識解題及進行證明，是常用的方法．讀者在進行相關計算時應充分利用題給條件，并與數學知識緊密結合，迅速把所求問題轉化成三角形中的邊角關系，是解決此類問題的關鍵．
　　本題是光的折射現象中的基本問題，解決本題不僅要求讀者對入射角、反射角、折射角和折射率的概念清楚，而且還要根據題意正確找出各角度之間的關系，因此要求讀者能對光的反射規律、折射規律靈活運用，對能力要求較高．
[方法一] 如圖所示，做出入射光線的反射光線及折射光線，并設反射角為、折射角為r、入射光線與界面間夾角為θ、折射光線與界面間的夾角為．由平面幾何知識可知：當反射光線與折射光線垂直時，θ＋＝，
　　
　　
　　聯立⑤、⑥兩式并代入n的值可以解得：i＝arctan
　　此題得證
　　[方法二] 在下圖的直角三角形中表示tani＝，由三角形中的邊角關系可知：sini＝
　　因為i＝
　　
　　
　　比較①、②兩式可知，θ與互為余角，即反射光線與折射光線垂直．
　　入射光線與法線之間的夾角為入射角；反射光線與法線之間的夾角為反射角；折射光線與法線之間的夾角為折射角，通過審題首先應弄清楚本題所問的是哪兩條光線互相垂直．介質的折射率定義為：光從真空射向介質時，入射角的正弦與折射角的正弦之比，這是解決本題的基礎．
　　[思路一] 利用反證法及折射率的定義求解．若能證明當反射光線與折射光線垂直時，入射角為i＝arctan即可．
　　[思路二] 利用三角函數及折射率的定義求解．為證明反射光線與折射光線垂直，只需證明當入射角為i＝arctan時，反射光線與界面間的夾角、折射光線與界面間的夾角互余即可．