Question

（2013?東莞一模）如圖所示，在真空中，半徑為d的虛線所圍的圓形區域內只存在垂直紙面向外的勻強磁場，在磁場右側有一對平行金屬板M和N，兩板間距離也為d，板長為l．板
間存在勻強電場，兩板間的電壓為U₀．兩板的中心線O₁O₂，與磁場區域的圓心O在同一直線上．有一電荷量為q、質量為m的帶正電粒子，以速率v₀從圓周上的P點沿垂直于半徑OO_l并指向圓心O的方向進入磁場，從圓周上的O₁點飛出磁場后沿兩板的中心線O₁O₂射入勻強電場，從兩板右端某處飛出．不計粒子所受重力．求
（1）磁場的磁感應強度B的大小
（2）粒子在磁場和電場中運動的總時間
（3）當粒子在電場中經過時間t=

l

2v0

時，突然改變兩金屬板帶電性質，使電場反向，且兩板間電壓變為U₁，則粒子恰好能從O₂點飛出電場，求電壓U₁和U₀的比值．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由幾何知識得到軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應強度的大小；
（2）粒子運動

1

4

周期時間，求得周期，即可求出粒子在磁場中運動的時間；粒子在電場中做類平拋運動，平行板的方向做勻速直線運動，而水平方向位移大小為l，由t=

l

v0

求出時間，即可求出總時間；
（3）當粒子在電場中經過時間t=

l

2v0

時，使電場反向，要使粒子恰好能從O₂點飛出電場，在前t=

l

2v0

時間內，粒子在豎直方向先做勻加速直線運動，再在后t=

l

2v0

時間內，做等時間的勻減速直線運動，兩段過程豎直方向的位移大小相等、方向相反，即總位移為零，根據牛頓第二定律求出加速度，根據位移關系和位移公式求得電壓U₁和U₀的比值．

解答：解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，設圓周運動的半徑為r，由牛頓第二定律
      qv₀B=m

v 2 0

r

 由幾何關系知  r=d        
所以  B=

mv0

qd

        
（2）粒子在磁場中運動的周期T=

2πm

qB

，
在磁場中運動時間為四分之一個周期，t1=

1

4

T=

1

4

?

2πm

qB

=

πl

2v0

．
粒子在電場中做類平拋運動，平行板的方向做勻速直線運動
則t₂=

l

v0

在電磁場中運動的總時間t_總=t₁+t₂=

πl+2l

2v0

（3）根據運動的獨立性可知：粒子在豎直方向先做勻加速直線運動，再做等時間的勻減速直線運動，
第一階段：a=

qU0

md

，s=

1

2

at2
第二階段：a1=

qU1

md

，s₁=vt-

1

2

a1t2=at²-

1

2

a1t2
豎直方向總位移為零，s+s₁=0
所以解得  a₁=3a              
故U₁：U₀=3：1
答：（1）磁場的磁感應強度B的大小是

mv0

qd

．
（2）粒子在磁場和電場中運動的總時間是

πl+2l

2v0

．
（3）電壓U₁和U₀的比值是3：1．

點評：本題粒子在磁場中運動時，由幾何知識求出軌跡半徑是關鍵，在電場中分析兩段位移的關系是關鍵．