Question

如圖1所示，在x軸上0到d范圍內存在電場（圖中未畫出），x軸上各點的電場沿著x軸正方向，并且電場強度大小E隨x的分布如圖2所示；在x軸上d到2d范圍內存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B．一質量為m，電量為+q粒子沿x軸正方向以一定速度從O點進入電場，最終粒子恰從坐標為（2d，

3

3

d）的P點離開磁場．不計粒子重力．
（1）求在x=0.5d處，粒子的加速度大小a；
（2）求粒子在磁場中的運動時間t；
（3）類比是一種常用的研究方法．對于直線運動，教科書中講解了由v-t圖象求位移的方法．請你借鑒此方法，并結合其他物理知識，求電場對粒子的沖量大小I．

Answer 1

分析：（1）從圖象中得出x=0.5d處的電場強度，根據牛頓第二定律求出粒子的加速度大小．
（2）根據幾何關系得出粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑和圓心角的大小，根據t=

α

2π

T，結合周期公式求出粒子在磁場中運動的時間．
（3）根據粒子在磁場中的軌道半徑，結合軌道半徑的公式求出粒子進入磁場的速度，根據圖象求出電場力做功W=

1

2

qE0d．根據動能定理求出帶電粒子進入電場時的速度，最后根據動量定理求出電場對粒子的沖量大小I．

解答：解：（1）由圖象，x=0.5d處，電場強度為E=0.5E₀，由牛頓第二定律得：
qE=ma
解得：a=

qE0

2m

．
（2）在磁場中運動軌跡如圖，設半徑為R，由幾何關系
R2=d2+(R-

3

3

d)2
解得：R=

2 3

3

d．
設圓弧所對圓心為α，滿足：sinα=

d

R

=

3

2

解得：α=

π

3

．
粒子在磁場中做圓周運動，設在磁場中運動的周期為T，粒子在磁場的運動速率為v，
圓運動半徑為 R，根據牛頓第二定律：
qvB=m

v2

R

粒子運動的周期T=

2πR

v

=

2πm

qB

．
所以，粒子在磁場中運動時間t=

α

2π

T=

πm

3qB

．
（3）粒子在磁場中做圓周運動，由牛頓第二定律得：
qvB=m

v2

R

，又粒子做圓周運動的半徑R=

2 3

3

d．
解得粒子在磁場中的運動速度v=

2 3 qBd

3m

．
由圖象可知，電場中電場力對粒子做功W=

1

2

qE0d．
設粒子剛進入電場時速度為v₀，根據動能定理：W=

1

2

mv2-

1

2

mv02．
解得：v0=

v2- 2W m

=

( 2 3 qBd 3m )2- qE0d m

．
根據動量定理：I=mv-mv0=

2 3 qBd

3

-

4q2B2d2 3 -qE0dm

．
答：（1）在x=0.5d處，粒子的加速度大小為

qE0

2m

．
（2）粒子在磁場中的運動時間為

πm

3qB

．
（3）電場對粒子的沖量大小為

2 3 qBd

3

-

4q2B2d2 3 -qE0dm

．

點評：解決本題的關鍵掌握帶電粒子在磁場中運動的半徑公式和周期公式，掌握求粒子在磁場中運動時間的方法，以及知道圖線與橫軸圍成的面積再乘以電量為電場力所做的功．