Question

（2013?黃岡一模）如圖所示，在平面直角坐標系的第一象限虛線左側有方向沿y軸負方向的有界勻強電場，電場強度大小為E，第三象限內充滿著垂直坐標平面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B．在電場區域內有一動點P，當質量為m、電量為q的帶正電粒子從P點沿x軸負方向以大小為

v

0

的初速度開始運動，粒子能從O點離開電場進入磁場．（不計粒子重力）
（1）求P點的坐標x、y滿足的關系；
（2）若當P點位于電場的右邊界時，粒子運動到O點的速度方向與x軸負方向成45°．求第三象限內粒子可能經過的區域的面積．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中做類平拋運動，水平位移和豎直位移均已知，由牛頓第二定律和運動學公式，運用運動的分解法可求出xy之間的關系；
（2）由速度的合成法求出粒子進入第IV象限磁場時的速度大小和方向，由幾何知識確定粒子經過Q點時的方向．最終確定第三象限內粒子可能經過的區域的面積．

解答：解：（1）電子在電場中做類平拋運動，則x=v₀t
y=

1

2

at2
又由牛頓第二定律得 a=

qE

m

解得：y=

qE

2m v 2 0

?x2
（2）設當粒子從O點射入時受到與x軸負方向的夾角為θ，速度的大小為v，粒子在磁場中做圓周運動的半徑為r，交y軸與q點，如圖a所示，
則有：qvB=m

v2

r

由粒子做平拋運動后的速度v：vcosθ=v₀
可得：r=

mv0

qBcosθ

由幾何關系得：

.

OQ

=2rcosθ
所以：

.

OQ

=

2mv0

qB

所以所有從o點射入的粒子打偶打在Q點．
如圖b所示，當粒子射入的速度與x軸負方向的夾角θ=0時，粒子在磁場中的軌跡為半圓周，半徑：r1=

mv0

qB

當粒子射入的速度與x軸負方向的夾角θ=45°時，粒子在磁場中的軌跡為

1

4

圓周，半徑r2=

2 mv0

qB

所以粒子在磁場中可能的運動軌跡在上述兩個圓弧圍成的區域內．由幾何知識可得該區域的面積：
S=

1

2

π

r

2 1

-(

1

4

π

r

2 2

-

1

2

r

2 2

)
聯立以上各式可得：S=

m2 v 2 0

q2B2

答：（1）P點的坐標x、y滿足的關系為y=

qE

2m v 2 0

?x2；
（2）第三象限內粒子可能經過的區域的面積S=

m2 v 2 0

q2B2

．

點評：本題是帶電粒子在電場和磁場中運動的問題，畫出軌跡，運用幾何知識求出電子的軌跡半徑是解題的關鍵，同時要抓住幾個過程之間的聯系，比如速度關系、位移關系等