Question

【題目】如圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L(zhǎng).已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè).引力常數(shù)為G.

（1）求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T；

（2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為T1.但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期T2.已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1021kg和7.35×1022kg.求T2與T1兩者平方之比.(結(jié)果保留2位小數(shù))

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】(1)設(shè)兩個(gè)星球A和B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r和R，相互作用的萬有引力大小為F，運(yùn)行周期為T.根據(jù)萬有引力定律有: ①

由勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得 ②

③

根據(jù)題意有L=R+r ④

聯(lián)立①②③④式得:T=⑤

(2)在地月系統(tǒng)中，因?yàn)榈卦孪到y(tǒng)旋轉(zhuǎn)所圍繞的中心O不在地心，根據(jù)題意知，月球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期可由⑤式得出 ⑥

式中，M'和m'分別是地球與月球的質(zhì)量，L'是地心與月心之間的距離.若認(rèn)為月球在地球的引力作用下繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則 ⑦

式中，T2為月球繞地心運(yùn)動(dòng)的周期.由⑦式得: ⑧

由⑥⑧式得: ⑨

代入題給數(shù)據(jù)得: ⑩.