Question

【題目】由中國科學院、中國工程院兩院院士評出的2012年中國十大科技進展新聞，于2013年1月19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號”成功對接和“蛟龍”號下潛突破7000米分別排在第一、第二．若地球半徑為R，把地球看做質量分布均勻的球體，地球表面的重力加速度大小為g，引力常量為G．“蛟龍”下潛深度為d，天宮一號軌道距離地面高度為h．已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零．求

（1）“天宮一號”繞地心轉一周的時間是多少？

（2）“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的重力加速度之比為多少？

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】（1）根據萬有引力提供向心力得：

地球表面的物體受到的萬有引力等于重力，即：

聯立解得：

（2）令地球的密度為ρ，對地球表面的物體：

由于地球的質量為： ，所以重力加速度的表達式可寫成：

根據萬有引力提供向心力 ，

“天宮一號”的加速度為

根據題意有，質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，固在深度為d的地球內部，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R﹣d）的球體在其表面產生的萬有引力，故海底的重力加速度g2= πGρ（R﹣d）．

所以有

所以