Question

【題目】如圖所示，在光滑的水平面上有一質量為m=1kg的足夠長的木板C，在C上放置有A、B兩物體，A的質量mA=1kg，B的質量為mB=2kg．A、B之間鎖定一被壓縮了的輕彈簧，彈簧儲存的彈性勢能Ep=3J，現突然給A、B一瞬時沖量作用，使A、B同時獲得v0=2m/s的初速度，且同時彈簧由于受到擾動而解除鎖定，并在極短的時間內恢復原長，之后與A、B分離．已知A和C之間的摩擦因數為μ1=0.2，B、C之間的動摩擦因數為μ2=0.1，且滑動摩擦力略小于最大靜摩擦力．求：

（1）彈簧與A、B分離的瞬間，A、B的速度分別是多大？
（2）已知在C第一次碰到右邊的固定擋板之前，A、B和C已經達到了共同速度，求在到達共同速度之前A、B、C的加速度分別是多大及該過程中產生的內能為多少？
（3）已知C與擋板的碰撞的碰撞無機械能損失，求在第一次碰撞后到第二次碰撞前A在C上滑行的距離？

Answer 1

【答案】
（1）解：在彈簧彈開兩物體的過程中，由于作用時間極短，對AB彈簧組成的系統由動量和能量守恒可得：

（mA+mB）v0=mAvA+mBvB

EP+ （mA+mB）v02= mAvA2+ mBvB2

聯立得：vA=0，vB=3m/s

答：彈簧與A、B分離的瞬間，A、B的速度分別是vA=0，vB=3m/s；

（2）解：由牛頓第二定律可得，對B：aB=μ2g=1m/s2

對AC：μ2mBg=（mA+m）a

又因：mAa＜μ1mAg

故AC的共同加速度均為1m/s2

對ABC整體來說，水平方向不受外力，故由動量和能量守恒可得：

mBvB=（mA+mB+m）v

Q= mBvB2﹣ （mA+mB+m）v2

得：Q=4.5J，v=1.5m/s

答：已知在C第一次碰到右邊的固定擋板之前，A、B和C已經達到了共同速度，在到達共同速度之前A、B、C的加速度均為1m/s2；該過程中產生的內能為4.5J

（3）解：C和擋板碰后，先向左勻減速運動，速度減至0后向右勻加速運動，分析可知，在向右加速過程中先和A達到共同速度v1，之后AC再以共同的加速度向右勻加速，B一直向右勻減速，最后三者達到共同速度v2后做勻速運動．在此過程中由于摩擦力做負功，故C向右不能一直勻加速到擋板處，所以擋板再次碰撞前三者已經達到共同速度．

aA=μ1g=2m/s2，aB=μ2g=1m/s2

μ1mAg+μ2mBg=mac

ac=4m/s2

v1=v﹣aAt=﹣v+act

v1=0.5m/s t=0.5s

xA1= t=0.5m

xc1= t=﹣0.25m

AC間的相對運動距離為：xAC=0.5+0.25=0.75m．

答：已知C與擋板的碰撞的碰撞無機械能損失，在第一次碰撞后到第二次碰撞前A在C上滑行的距離為0.75m．

【解析】（1）根據動量守恒和能量守恒列方程組求AB分離時的速度；（2）由牛頓第二定律求三者的加速度，該過程中產生的內能等于系統損失的機械能，只需求出三者達到的共同速度便可以由能量守恒求解；（3）根據牛頓第二定律和運動學公式聯立求解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用動量守恒定律和能量守恒定律的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握動量守恒定律成立的條件：系統不受外力或系統所受外力的合力為零；系統所受的外力的合力雖不為零，但系統外力比內力小得多；系統所受外力的合力雖不為零，但在某個方向上的分量為零，則在該方向上系統的總動量的分量保持不變；能量守恒定律：能量既不會消滅，也不會創生，它只會從一種形式轉化為其他形式，或者從一個物體轉移到另一個物體，而在轉化和轉移過程中，能量的總量保持不變．