Question

如圖，半徑為R的光滑圓形軌道安置在一豎直平面上，左側(cè)連接一個(gè)光滑的弧形軌道，右側(cè)連接動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的水平軌道CD．一小球自弧形軌道上端的A處由靜止釋放，通過(guò)圓軌道后，再滑上CD軌道．若在圓軌道最高點(diǎn)B處對(duì)軌道的壓力恰好為零，到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度為

3gR

．求：
（1）小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)速度的大小．
（2）小球釋放時(shí)的高度h．
（3）水平軌道CD段的長(zhǎng)度l．

Answer 1

分析：（1）小球滾到兩圓軌道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道無(wú)壓力，僅受重力，運(yùn)用向心力公式可求出在其位置的速度．
（2）從釋放點(diǎn)到軌道最高點(diǎn)過(guò)程只有重力做功，由機(jī)械能守恒定律可解高度h
（3）由于CD段粗糙，不能運(yùn)用機(jī)械守恒定律，但是對(duì)小球從最高點(diǎn)到D點(diǎn)全過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理，可解決水平軌道CD的長(zhǎng)度

解答：解：（1）根據(jù)小球在B處對(duì)軌道壓力為零，由向心力公式有
mg=m

vB2

R

      ①
解得小球、經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)速度大小
v_B=

Rg

 ②
（2）取軌道最低點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律
mgh=mg?2R+

1

2

mvB2  ③
由②、③聯(lián)立解得h=2.5R④
（3）對(duì)小球從最高點(diǎn)到D點(diǎn)全過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理有
mgh-μmgl=

1

2

mvD2⑤
又v_D=

3gR

⑥
由④⑤⑥聯(lián)立解得水平軌道CD段的長(zhǎng)度
l=

R

μ

答：（1）小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)速度的大小為

Rg

（2）小球釋放時(shí)的高度為2.5R
（3）水平軌道CD的長(zhǎng)度為

R

μ

點(diǎn)評(píng)：掌握向心力公式外，還熟悉了牛頓第二定律，最后比較了機(jī)械能守恒定律與動(dòng)能定理的優(yōu)缺點(diǎn)．本題中小球在軌道最高點(diǎn)壓力為零是解題的切入點(diǎn)．