Question

（16分）如圖所示，質量M = 4.0kg的長木板B靜止在光滑的水平地面上，在其右端放一質量m = 1.0kg的小滑塊A（可視為質點）。初始時刻，A、B分別以v₀ = 2.0m/s向左、向右運動，最后A恰好沒有滑離B板。已知A、B之間的動摩擦因數μ = 0.40，取g =10m/s²。求：

⑴ A、B相對運動時的加速度a_A和a_B的大小與方向；
⑵ A相對地面速度為零時，B相對地面運動已發生的位移x；
⑶木板B的長度l。

Answer 1

⑴a_A = 4.0m/s²，方向水平向右  a_B = 1.0m/s²，方向水平向左
⑵x = 0.875m      ⑶l = 1.6m

試題分析：⑴ A、B分別受到大小為μmg的作用，根據牛頓第二定律
對A物體：μmg = ma_A     1分
則a_A =" μg" = 4.0m/s²  1分
方向水平向右   1分
對B物體：μmg = Ma_B   1分
則a_B ="μmg" /M = 1.0m/s²   1分
方向水平向左   1分
⑵開始階段A相對地面向左做勻減速運動，速度為0的過程中所用時間為t₁，則
v₀ = a_At₁，則t₁ = v₀/a_A =" 0.50s"   1分
B相對地面向右做減速運動x = v₀t - a_Bt² =" 0.875m"   1分
⑶A向左勻減速運動至速度為零后，相對地面向右做勻加速運動，加速度大小仍為a_A = 4.0m/s²；
B板向右仍做勻減速運動，加速度大小仍a_B = 1.0m/s²；  1分
當A、B速度相等時，A相對B滑到最左端，恰好不滑出木板，
故木板B的長度為這個全過程中A、B間的相對位移；  1分
在A相對地面速度為零時，B的速度v_B = v₀ – a_Bt₁ =" 1.5m/s"   1分
設由A速度為零至A、B相等所用時間為t₂，則 a_At₂ = v_B – a_Bt₂，
解得t₂ = v_B/(a_A + a_B) = 0.3s；
共同速度v = a_At₂ =" 1.2m/s"    1分
A向左運動位移x_A = (v₀－ v)(t₁ + t₂)/2 =" (2" – 1.2)(0.5 + 0.3)/2 m = 0.32m  1分
B向右運動位移x_B = (v₀+ v) (t₁ + t₂)/2 =" (2" + 1.2)(0.5 + 0.3)/2 m 1.28m  1分
B板的長度l = x_A + x_B = 1.6m     1分