Question

【題目】對于同一物理問題，常常可以從宏觀與微觀兩個不同角度進行研究，找出其內在聯系，從而更加深刻地理解其物理本質。一段橫截面積為S、長為l的直導線，單位體積內有n個自由電子，一個電子電量為e。該導線通有恒定電流時，導線兩端的電勢差為U，假設自由電子定向移動的速率均為v。

（1）求導線中的電流I；

（2）所謂電流做功，實質上是導線中的恒定電場對自由電荷的靜電力做功。為了求解在時間t內電流做功W為多少，小紅和小明給出了不同的想法：

小紅記得老師上課講過，W=UIt，因此將第（1）問求出的I的結果代入，就可以得到W的表達式。但是小紅不記得老師是怎樣得出W=UIt這個公式的。小明提出，既然電流做功是導線中的恒定電場對自由電荷的靜電力做功，那么應該先求出導線中的恒定電場的場強，即，設導體中全部電荷為q后，再求出電場力做的功，將q代換之后，小明沒有得出W=UIt的結果。

請問你認為小紅和小明誰說的對？若是小紅說的對，請給出公式的推導過程；若是小明說的對，請補充完善這個問題中電流做功的求解過程。

（3）為了更好地描述某個小區域的電流分布情況，物理學家引入了電流密度這一物理量，定義其大小為單位時間內通過單位面積的電量。若已知該導線中的電流密度為j，導線的電阻率為ρ，試證明：。

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】（1）電流定義式，在t時間內，流過橫截面的電荷量，因此；

（2）小紅和小明說的都有一定道理

a.小紅說的對。由于，在t時間內通過某一橫截面的電量Q=It，對于一段導線來說，每個橫截面通過的電量均為Q，則從兩端來看，相當于Q的電荷電勢降低了U，則

。

b.小明說的對。恒定電場的場強，導體中全部電荷為，

電場力做的功；

又因為，則。

（3）由歐姆定律：、，、由電阻定律：；

則，則；

由電流密度的定義：；

故；