Question

某同學設想用帶電粒子的運動軌跡做出“0”字樣，首先，在真空空間的豎直平面內建立xoy坐標系，在x₁=-0.1m和x₂=0.1m處有兩個與y軸平行的豎直界面PQ、MN把空間分成Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ三個區域，在這三個區域中分別存在勻強磁場B₃、B₂、B₁，其大小滿足B₂=2B₃=2B₁=0.02T，方向如圖所示．在Ⅱ區域中的x軸上、下兩側還分別存在勻強電場E₁、E₂（圖中未畫出），忽略所有電、磁場的邊緣效應，ABCD是以坐標原點O為中心對稱的正方形，其邊長a=0.2m．現在界面MN上的A點沿x軸正方向發射一個比荷q/m=1.0×10⁸C/kg的帶正電的粒子（其重力不計），粒子恰能沿圖中實線運動，途經B、C、D三點后回到A點，做周期性運動，軌跡構成一個“0”字，已知粒子每次穿越Ⅱ區域時均作直線運動．試求：



（1）粒子自A點射出時的速度大小v₀；
（2）電場強度E₁、E₂的大小和方向；
（3）粒子作一次周期性運動所需的時間．

Answer 1

（1）帶電粒子在區域Ⅰ中做勻速圓周運動，直徑2R=a，由
  qv₀B₁=m

v 20

R

得v0=

qB1R

m

=1×10⁵m/s
（2）帶電粒子在區域Ⅱ中做勻速直線運動，電場力與洛倫茲力平衡，由左手定則判斷可知洛倫茲力的方向沿y軸正方向，則電場力沿y負方向，電場強度E₁也沿y軸負方向．
  且有  qv₀B₂=qE₁，則得E₁=v₀B₂=2×10³N/C．
同理，E₂=v₀B₂=2×10³N/C，方向沿y軸正方向．
（3）粒子在區域Ⅱ運動的時間t₁=2×

a

v0

在區域Ⅰ和Ⅲ中運動的時間t₂=T=

2πm

qB1

則得粒子作一次周期性運動所需的時間t=t₁+t₂=2×

a

v0

+

2πm

qB1

代入數據解得，t=（4+2π）×10^-6s
答：
（1）粒子自A點射出時的速度大小v₀是1×10⁵m/s．
（2）電場強度E₁的大小為2×10³N/C，方向沿y軸負方向；E₂的大小為2×10³N/C，方向沿y軸正方向．
（3）粒子作一次周期性運動所需的時間是（4+2π）×10^-6s．