Question

【題目】如圖甲所示，彎曲部分AB和CD是兩個半徑都為0.3 m的圓弧軌道，中間的BC段是豎直的薄壁細圓管(細圓管內徑略大于小球的直徑)軌道，分別與上下圓弧軌道相切連接，BC段的長度L為0.2 m．下圓弧軌道與水平軌道相切，其中D、A分別是上下圓弧軌道的最高點與最低點，整個軌道固定在豎直平面內．有一質量為0.3 kg的小球以一定的速度沿水平軌道向右運動并從A點進入圓弧，不計小球運動中的一切阻力，求：

(1)如果小球從D點以5 m/s的速度水平飛出，求落地點與D點的水平距離；

(2)如果小球從D點以5 m/s的速度水平飛出，求小球過圓弧A點時對軌道的壓力；

(3)如果在D點右側平滑連接一半徑R＝0.4 m的半圓形光滑軌道DEF，如圖乙所示，要使小球不脫離軌道運動，求小球在水平軌道上向右運動的速度大小范圍(計算結果可以用根式表示)．

Answer 1

【答案】(1)2 m　(2)44 N　(3) 或

【解析】試題分析：（1）小球從D點以5m/s的速度水平飛出后做平拋運動，由平拋運動規律可得：h=gt2

據題 h=2R+L=2×0．3m+0．2m=0．8m

代入數據解得 t=0．4s

所以落地點與D點的水平距離 x=vDt=5×0．4m=2m；

（2）由A到D的過程，由機械能守恒定律可得：mgh+mvD2=mvA2

在A點，由牛頓第二定律可得： ；

聯立解得 N=94N

由牛頓第三定律知，小球過圓弧A點時對軌道的壓力 N′=N=94N

（3）計論一：

小球進入軌道最高運動到C點，之后原路返回，由機械能守恒定律，有：

mg（R+L）=mv12

得 v1=m/s

討論二：小球進入軌道后恰好能通過圓弧最高點D，之后沿DEF運動而不脫離軌道，在D點，有

從A到D由機械能守恒定律可得：

有：mgh+mv2=mv22

得

所以要使小球在運動過程中能不脫離軌道，初速度大小的范圍為：v1≤m/s或v2≥m/s