Question

如圖所示，在真空區域內，有寬度為L的勻強磁場，磁感應強度為B，磁場方向垂直紙面向里，MN、PQ是磁場的邊界．質量為m，帶電量為-q的粒子，經電壓U₁加速后沿著與MN夾角為θ（0＜θ＜90°）的方向垂直磁感線射入勻強磁場B中，粒子剛好沒能從PQ邊界射出磁場，粒子加速前速度認為是零，不計重力的影響．
（1）求加速電壓U₁；
（2）為使粒子經電壓U₁加速射入磁場后沿直線運動，直至射出PQ邊界，可在磁場區域加一勻強電場，求該電場的場強大小和方向；
（3）若粒子是經電壓U₂加速后射入磁場，粒子則剛好垂直PQ射出磁場，求加速電壓U₂；
（4）若PQ是一金屬板，粒子垂直PQ射出磁場后被附近一帶電量為+Q的固定帶點小球俘獲后，做半徑為r的圓周運動，求粒子從PQ穿出時損失的動能．

Answer 1

分析：（1）根據幾何關系求出做圓周運動的規定半徑，由加速過程中電場力做的功等于粒子動能的變化量及圓周運動向心力公式即可求得加速電壓；
（2）加勻強電場后，粒子在磁場中沿直線運動射出PQ邊界的條件為電場力的方向與磁場力的方向相反，大小相等，根據Eq=qv₁B即可的E；
（3）用（1）的方法求加速電壓U₂；
（4）由兩電荷間的庫侖力提供向心力求出速度，再分別求出動能，即可求出粒子從PQ穿出時損失的動能．

解答：解：（1）由圖可得R₁（1+cosθ）=L
在磁場中做圓周運動：qv1B=m

v 2 1

R1

在電場中加速：U1q=

1

2

m

v

2 1

得：U1=

qB2L2

2m(1+cosθ)

（2）加勻強電場后，粒子在磁場中沿直線運動射出PQ邊界的條件為電場力的方向與磁場力的方向相反，且Eq=qv₁B
得：E=

qB2L

m(1+cosθ)

E的方向垂直磁場方向斜向右下，與磁場邊界夾角為：a=

π

2

-θ
（3）由圖可得R₂cosθ=L
同第（1）小題相同，得：U2=

qB2L2

2mcosθ

（4）由兩電荷間的庫侖力提供向心力可得：k

Qq

r2

=m

v 2 3

r

△Ek=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 3

=

1

2

(

q2B2L2

mcos2θ

-k

Qq

r

)
答：（1）加速電壓U₁為

qB2L2

2m(1+cosθ)

；
（2）該電場的場強大小為

qB2L

m(1+cosθ)

，方向垂直磁場方向斜向右下，與磁場邊界夾角為

π

2

-θ；
（3）若粒子是經電壓U₂加速后射入磁場，粒子則剛好垂直PQ射出磁場，加速電壓U₂為

qB2L2

2mcosθ

；
（4）粒子從PQ穿出時損失的動能為

1

2

(

q2B2L2

mcos2θ

-k

Qq

r

)．

點評：該題主要考查了帶電粒子在加速電場和磁場中的運動．要求同學們能正確畫出粒子運動的軌跡，并根據幾何關系求得軌道半徑，能用向心力公式和周期公式解題，難度較大，屬于難題．