Question

【題目】(2016四川理綜，11) 如圖所示，圖面內有豎直線DD′，過DD′且垂直于圖面的平面將空間分成Ⅰ、Ⅱ兩區域。區域Ⅰ有方向豎直向上的勻強電場和方向垂直于圖面的勻強磁場B(圖中未畫出)；區域Ⅱ有固定在水平地面上高h＝2l、傾角α＝的光滑絕緣斜面，斜面頂端與直線DD′距離s＝4l，區域Ⅱ可加豎直方向的大小不同的勻強電場(圖中未畫出)；C點在DD′上，距地面高H＝3l。零時刻，質量為m、帶電量為q的小球P在K點具有大小v0＝、方向與水平面夾角θ＝的速度，在區域Ⅰ內做半徑r＝的勻速圓周運動，經C點水平進入區域Ⅱ。某時刻，不帶電的絕緣小球A由斜面頂端靜止釋放，在某處與剛運動到斜面的小球P相遇。小球視為質點，不計空氣阻力及小球P所帶電量對空間電磁場的影響。l已知，g為重力加速度。

(1)求勻強磁場的磁感應強度B的大小；

(2)若小球A、P在斜面底端相遇，求釋放小球A的時刻tA；

(3)若小球A、P在時刻t＝β (β為常數)相遇于斜面某處，求此情況下區域Ⅱ的勻強電場的場強E，并討論場強E的極大值和極小值及相應的方向。

Answer 1

【答案】 (1) (2)(3－2)

(3) 極大值，豎直向上；極小值0

【解析】 (1)由題知，小球P在區域Ⅰ內做勻速圓周運動，有

m＝qv0B①

代入數據解得B＝②

(2)小球P在區域Ⅰ做勻速圓周運動轉過的圓心角為θ，運動到C點的時刻為tC，到達斜面底端時刻為t1，有

tC＝③

s－hcot α＝v0(t1－tC)④

小球A釋放后沿斜面運動加速度為aA，與小球P在時刻t1相遇于斜面底端，有

mgsin α＝maA⑤

＝aA(t1－tA)2⑥

聯立以上方程可得tA＝(3－2)⑦

(3)設所求電場方向向下，在tA′時刻釋放小球A，小球P在區域Ⅱ運動加速度為aP，有

s＝v0(t－tC)＋aA(t－tA′)2cos α⑧

mg＋qE＝maP⑨

H－h＋aA(t－tA′)2sin α＝aP(t－tC)2⑩

聯立相關方程解得E＝

對小球P的所有運動情形討論可得3≤β≤5

由此可得場強極小值為Emin＝0；場強極大值為Emax＝，方向豎直向上。