Question

兩根平行金屬導軌固定傾斜放置，與水平面夾角為37⁰，相距d=0.5m，a、b間接一個電阻R，R=1.5Ω．在導軌上c、d兩點處放一根質量m=0.05kg的金屬棒，bc長L=1m，金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ=0.5．金屬棒與導軌接觸點間電阻r=0.5Ω，金屬棒被兩個垂直于導軌的木樁頂住而不會下滑，如圖1所示．在金屬導軌區域加一個垂直導軌斜向下的勻強磁場，磁場隨時間的變化關系如圖2所示．重力加速度g=10m/s²．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：

（1）0～1.0s內回路中產生的感應電動勢大小．
（2）t=0時刻，金屬棒所受的安培力大小．
（3）在磁場變化的全過程中，若金屬棒始終沒有離開木樁而上升，則圖2中t₀的最大值．
（4）通過計算在圖3中畫出0～t_0max內金屬棒受到的靜摩擦力隨時間的變化圖象．

Answer 1

分析：（1）由圖（2）讀出

△B

△t

，根據法拉第電磁感應定律求解感應電動勢大小．
（2）由I=

E

R+r

，F_安0=B₀Id求出t=0時刻，金屬棒所受的安培力大小．
（3）金屬棒對木樁的壓力為零，最大靜摩擦力沿斜面向下，此時沿傾斜導軌方向上合外力為零．根據平衡條件求出此時的B，而B與時間的關系式求出t₀的最大值．
（4）開始時，木樁對金屬棒有支持力，金屬棒對導軌無相對運動趨勢：f_靜=0．隨著安培力F_安的增大，木樁對金屬棒的彈力減小，直至彈力為零．F_安繼續增大，f_靜從零開始增大，f隨t線形增大．根據平衡條件求出摩擦力，畫出圖象．

解答：解：（1）讀圖（2）可知：

△B

△t

=

1.0-0.2

1.0

T/s=0.8T/s
  感應電動勢為 E=

△Φ

△t

=

△B

△t

Ld=0.8×1×0.5V=0.4V
（2）感應電流為 I=

E

R+r

=

0.4

1.5+0.5

A=0.2A
t=0時刻，金屬棒所受的安培力大小為 F_安0=B₀Id=0.2×0.2×0.5N=0.02N．  
（3）金屬棒對木樁的壓力為零，最大靜摩擦力沿斜面向下，此時沿傾斜導軌方向上合外力為零．  
 F_安=B（t）Id=（0.2+0.8t_0max）N=（0.02+0.08t_0max）N． 
又N=mgcos37°=0.05×10×0.8N=0.4N．
f=μN=0.5×0.4N=0.2N，即最大靜摩擦力．                      
由F_安=mgsin37°+f                                            
代入相關數據后，得：t_0max=6s．                              
（4）一開始，木樁對金屬棒有支持力，金屬棒對導軌無相對運動趨勢：f_靜=0．隨著安培力F_安的增大，木樁對金屬棒的彈力減小，直至彈力為零．滿足：
  F_安=B（t）Id=mgsin37°，
代入數據：（0.2+0.8t′）×0.2×0.5=0.05×10×0.6，得：t′=3.5s．           
F_安繼續增大，f_靜從零開始增大，F_安=B（t）Id=（0.2+0.8t）×0.2×0.5=mgsin37°+f_靜，所以f隨t線形增大至f=0.2N
（此時t_0max=6s）．                                                   
畫出圖象如圖．
答：
（1）0～1.0s內回路中產生的感應電動勢大小是0.4V．
（2）t=0時刻，金屬棒所受的安培力大小是0.02N．
（3）在磁場變化的全過程中，若金屬棒始終沒有離開木樁而上升，則圖2中t₀的最大值是6s．
（4）畫出0～t_0max內金屬棒受到的靜摩擦力隨時間的變化圖象如圖所示．

點評：本題關鍵是分析和計算安培力，根據安培力與重力分力的關系分析摩擦力的大小和方向．